Usando frações parciais mostre a igualdade
F(s)=26+2 s+2 s^2+s^3s^2(26+2 s+s^2)=1s^2+s+1(s+1)^2+5^2
Em seguida, determine a transformada Inversa de Laplace f(t)=L^-1(F(s)).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar frações parciais para mostrar a igualdade dada e, em seguida, determinar a transformada inversa de Laplace f(t) = L^-1(F(s)) . O conteúdo que vamos usar envolve frações parciais e transformadas de Laplace. Precisaremos entender como decompor funções racionais em frações mais simples e aplicar as propriedades das transformadas de Laplace para encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função F(s) :
F(s) = 26 + 2s + 2s^2 + s^3s^2(26 + 2s + s^2)
Queremos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Isso ajuda a simplificar a função para que possamos aplicar a transformada inversa de Laplace facilmente.

Passo 3

Observamos que o denominador s^2(26 + 2s + s^2) pode ser fatorado ou reescrito para facilitar a decomposição. Vamos reescrever o denominador:
26 + 2s + s^2 = s^2 + 2s + 26
Podemos completar o quadrado para essa expressão:
s^2 + 2s + 26 = (s + 1)^2 + 25 = (s + 1)^2 + 5^2
Então, o denominador fica:
s^2((s + 1)^2 + 5^2)

Passo 4

Agora, vamos propor a forma da decomposição em frações parciais:
26 + 2s + 2s^2 + s^3s^2((s + 1)^2 + 5^2) = As + Bs^2 + Cs + D(s + 1)^2 + 5^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de A, B, C e D que satisfazem essa igualdade.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação por s^2((s + 1)^2 + 5^2) para eliminar os denominadores:
26 + 2s + 2s^2 + s^3 = A s((s + 1)^2 + 25) + B((s + 1)^2 + 25) + (Cs + D)s^2
Expandindo os termos à direita:
26 + 2s + 2s^2 + s^3 = A s(s^2 + 2s + 26) + B(s^2 + 2s + 26) + Cs^3 + Ds^2
Simplificando:
26 + 2s + 2s^2 + s^3 = A s^3 + 2A s^2 + 26A s + B s^2 + 2B s + 26B + Cs^3 + Ds^2
Agrupando termos semelhantes:
26 + 2s + 2s^2 + s^3 = (A + C)s^3 + (2A + B + D)s^2 + (26A + 2B)s + 26B

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para s^3 :
1 = A + C
Para s^2 :
2 = 2A + B + D
Para s :
2 = 26A + 2B
Para o termo constante:
26 = 26B

Passo 7

Resolvendo o último equação primeiro:
26 = 26B implies B = 1
Agora, substituímos B = 1 na equação para s :
2 = 26A + 2(1) implies 2 = 26A + 2 implies 26A = 0 implies A = 0
Com A = 0 , da equação para s^3 :
1 = 0 + C implies C = 1
Finalmente, substituímos A = 0 e B = 1 na equação para s^2 :
2 = 2(0) + 1 + D implies 2 = 1 + D implies D = 1

Passo 8

Agora que encontramos os valores, substituímos na decomposição das frações parciais:
26 + 2s + 2s^2 + s^3s^2((s + 1)^2 + 5^2) = 0s + 1s^2 + 1 cdot s + 1(s + 1)^2 + 5^2
Simplificando:
F(s) = 1s^2 + s + 1(s + 1)^2 + 25

Passo 9

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s) :
f(t) = L^-1(1s^2 + s + 1(s + 1)^2 + 25)
Sabemos que:
L^-1(1s^2) = t
L^-1(s + a(s + a)^2 + b^2) = e^-at cos(bt)
Aplicando essas propriedades:
f(t) = t + e^-t cos(5t)

Resposta

A transformada inversa de Laplace é f(t) = t + e^-t cos(5t) .

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