Usando frações parciais mostre a igualdade
Em seguida, determine a transformada Inversa de Laplace
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar frações parciais para mostrar a igualdade dada e, em seguida, determinar a transformada inversa de Laplace
. O conteúdo que vamos usar envolve frações parciais e transformadas de Laplace. Precisaremos entender como decompor funções racionais em frações mais simples e aplicar as propriedades das transformadas de Laplace para encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
:
Queremos decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais. Isso ajuda a simplificar a função para que possamos aplicar a transformada inversa de Laplace facilmente.
Passo 3
Observamos que o denominador
pode ser fatorado ou reescrito para facilitar a decomposição. Vamos reescrever o denominador:
Podemos completar o quadrado para essa expressão:
Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora, vamos propor a forma da decomposição em frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos à direita:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 7
Resolvendo o último equação primeiro:
Agora, substituímos
na equação para
:
Com
, da equação para
:
Finalmente, substituímos
e
na equação para
:
Passo 8
Agora que encontramos os valores, substituímos na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de Laplace de
:
Sabemos que:
Aplicando essas propriedades:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é
.