Calcule explicitamente (isto é, efetue a integral de superfície) o fluxo Phi de um campo elétrico uniforme de módulo E0 e com a mesma direção e sentido do vetor z considerando:
(a) uma superfície aberta formada por um disco de raio R (com vetor normal paralelo a z ).
(b) uma superfície aberta formada por um hemisfério (apenas a calota, sem considerar a base) de raio R, cuja base é normal à direção z.
(c) uma superfície fechada formada pelo hemifério do item (a), incluindo sua base. Utilize os resultados dos itens anteriores e considere que o vetor unitário n normal à superfície seja orientado para fora? como de costume. Comente sua resposta com base na lei de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre fluxo elétrico. A gente está lidando com um campo elétrico uniforme, que tem módulo E0 e aponta na direção do vetor z. O que a gente vai fazer é calcular o fluxo Phi desse campo através de diferentes superfícies usando a integral de superfície. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico, como calcular integrais de superfície e aplicar a lei de Gauss no final. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo através de um disco de raio R com o vetor normal paralelo a z. O fluxo elétrico é basicamente uma medida de quantas linhas de campo passam por uma superfície. A fórmula é:
Phi = integral E cdot dA
Como o campo elétrico é uniforme e paralelo à normal da superfície, a integral fica simples:
Phi = E0 cdot A
Onde A é a área do disco. A área de um disco é pi R^2, então:
Phi = E0 cdot pi R^2

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: o fluxo através de uma calota hemisférica de raio R, sem considerar a base. Aqui, a superfície curva do hemisfério tem vetores normais que não são todos paralelos a z. Vamos precisar integrar o componente do campo elétrico que é normal à superfície.
Para uma calota hemisférica, a componente do campo elétrico que contribui para o fluxo é apenas aquela na direção z. Usando coordenadas esféricas, o ângulo entre E e o vetor normal é theta. Então, a contribuição para o fluxo é:
Phi = integral E0 costheta cdot dA
A área diferencial na superfície esférica é dA = R^2 sintheta dtheta dphi. Integrando de theta = 0 a theta = pi/2 e phi = 0 a 2pi:
Phi = E0 R^2 integral0^2pi integral0^pi/2 costheta sintheta dtheta dphi
Integrando, obtemos:
Phi = E0 pi R^2

Passo 4

Agora, para a terceira parte, vamos considerar uma superfície fechada formada pelo hemisfério e sua base. Pelo que já calculamos:
  • Fluxo pela calota hemisférica: E0 pi R^2
  • Fluxo pela base (disco): E0 pi R^2
Somando os dois:
Phitotal = E0 pi R^2 + E0 pi R^2 = 2 E0 pi R^2
Segundo a lei de Gauss, para uma superfície fechada, o fluxo é igual à carga interna dividida por varepsilon0. Como o fluxo não é zero, isso sugere que há uma carga dentro da superfície.

Resposta

(a) Phi = E0 pi R^2
(b) Phi = E0 pi R^2
(c) Phitotal = 2 E0 pi R^2
Segundo a lei de Gauss, esse fluxo indica que há uma carga interna à superfície fechada.

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