Calcule explicitamente (isto é, efetue a integral de superfície) o fluxo
de um campo elétrico uniforme de módulo
e com a mesma direção e sentido do vetor
considerando:
(a) uma superfície aberta formada por um disco de raio
(com vetor normal paralelo a
).
(b) uma superfície aberta formada por um hemisfério (apenas a calota, sem considerar a base) de raio
, cuja base é normal à direção
.
(c) uma superfície fechada formada pelo hemifério do item (a), incluindo sua base. Utilize os resultados dos itens anteriores e considere que o vetor unitário
normal à superfície seja orientado para fora? como de costume. Comente sua resposta com base na lei de Gauss.
(a) uma superfície aberta formada por um disco de raio
(b) uma superfície aberta formada por um hemisfério (apenas a calota, sem considerar a base) de raio
(c) uma superfície fechada formada pelo hemifério do item (a), incluindo sua base. Utilize os resultados dos itens anteriores e considere que o vetor unitário
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre fluxo elétrico. A gente está lidando com um campo elétrico uniforme, que tem módulo
e aponta na direção do vetor
. O que a gente vai fazer é calcular o fluxo
desse campo através de diferentes superfícies usando a integral de superfície. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo elétrico, como calcular integrais de superfície e aplicar a lei de Gauss no final. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo através de um disco de raio
com o vetor normal paralelo a
. O fluxo elétrico é basicamente uma medida de quantas linhas de campo passam por uma superfície. A fórmula é:
Como o campo elétrico é uniforme e paralelo à normal da superfície, a integral fica simples:
Onde
é a área do disco. A área de um disco é
, então:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: o fluxo através de uma calota hemisférica de raio
, sem considerar a base. Aqui, a superfície curva do hemisfério tem vetores normais que não são todos paralelos a
. Vamos precisar integrar o componente do campo elétrico que é normal à superfície.
Para uma calota hemisférica, a componente do campo elétrico que contribui para o fluxo é apenas aquela na direção
. Usando coordenadas esféricas, o ângulo entre
e o vetor normal é
. Então, a contribuição para o fluxo é:
A área diferencial na superfície esférica é
. Integrando de
a
e
a
:
Integrando, obtemos:
Passo 4
Agora, para a terceira parte, vamos considerar uma superfície fechada formada pelo hemisfério e sua base. Pelo que já calculamos:
- Fluxo pela calota hemisférica:
- Fluxo pela base (disco):
Somando os dois:
Segundo a lei de Gauss, para uma superfície fechada, o fluxo é igual à carga interna dividida por
. Como o fluxo não é zero, isso sugere que há uma carga dentro da superfície.
Resposta
(a)
(b)
(c)
Segundo a lei de Gauss, esse fluxo indica que há uma carga interna à superfície fechada.