Calcule a expressão da energia mecânica em função do tempo para o oscilador harmônico amortecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a expressão da energia mecânica em função do tempo para um oscilador harmônico amortecido. Isso faz parte da matéria de mecânica, mais especificamente sobre movimentos oscilatórios com amortecimento. Para resolver, a gente vai precisar entender como a energia se comporta quando há um amortecimento, ou seja, quando há uma força que retira energia do sistema com o tempo, como o atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico amortecido. É um sistema que oscila, tipo um pêndulo, mas que vai perdendo energia com o tempo devido a uma força de atrito ou resistência. A equação do movimento para esse sistema é:
Aqui, $ m $ é a massa, $ b $ é o coeficiente de amortecimento, $ k $ é a constante da mola, $ x $ é o deslocamento e $ t $ é o tempo.
Passo 3
A energia mecânica total $ E(t) $ de um oscilador consiste na soma da energia cinética $ E_c $ e da energia potencial $ E_p $:
A energia cinética é dada por:
E a energia potencial é:
Passo 4
Para achar $ E(t) $ em função do tempo, precisamos encontrar as expressões de $ x(t) $ e $ \frac{dx}{dt} $ para o oscilador amortecido. A solução da equação diferencial para o movimento amortecido é:
Onde:
- $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de amortecimento,
- $ \omega’ = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $ é a frequência angular amortecida,
- $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular sem amortecimento,
- $ A $ é a amplitude inicial,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 5
Derivando $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $, temos a velocidade $ \frac{dx}{dt} $:
Passo 6
Agora, substituímos $ x(t) $ e $ \frac{dx}{dt} $ nas expressões de $ E_c $ e $ E_p $:
Passo 7
Simplificando as expressões, percebemos que tanto a energia cinética quanto a potencial possuem um termo $ e^{-2\gamma t} $, que indica que a energia total decai exponencialmente com o tempo devido ao amortecimento. Além disso, usando identidades trigonométricas, a soma das duas energias resulta em:
Onde $ E_0 $ é a energia mecânica inicial do sistema.
Resposta
A energia mecânica em função do tempo para o oscilador harmônico amortecido é dada por:
onde $ E_0 $ é a energia inicial e $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de amortecimento.