Calcule a expressão da energia mecânica em função do tempo para o oscilador harmônico amortecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular a expressão da energia mecânica em função do tempo para um oscilador harmônico amortecido. Isso faz parte da matéria de mecânica, mais especificamente sobre movimentos oscilatórios com amortecimento. Para resolver, a gente vai precisar entender como a energia se comporta quando há um amortecimento, ou seja, quando há uma força que retira energia do sistema com o tempo, como o atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico amortecido. É um sistema que oscila, tipo um pêndulo, mas que vai perdendo energia com o tempo devido a uma força de atrito ou resistência. A equação do movimento para esse sistema é:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Aqui, $ m $ é a massa, $ b $ é o coeficiente de amortecimento, $ k $ é a constante da mola, $ x $ é o deslocamento e $ t $ é o tempo.

Passo 3

A energia mecânica total $ E(t) $ de um oscilador consiste na soma da energia cinética $ E_c $ e da energia potencial $ E_p $:
E(t)
A energia cinética é dada por:
Ec
E a energia potencial é:
Ep

Passo 4

Para achar $ E(t) $ em função do tempo, precisamos encontrar as expressões de $ x(t) $ e $ \frac{dx}{dt} $ para o oscilador amortecido. A solução da equação diferencial para o movimento amortecido é:
E(t)
Onde:
  • $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de amortecimento,
  • $ \omega’ = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} $ é a frequência angular amortecida,
  • $ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $ é a frequência angular sem amortecimento,
  • $ A $ é a amplitude inicial,
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 5

Derivando $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $, temos a velocidade $ \frac{dx}{dt} $:
x(t)

Passo 6

Agora, substituímos $ x(t) $ e $ \frac{dx}{dt} $ nas expressões de $ E_c $ e $ E_p $:
x(t)
dxdt

Passo 7

Simplificando as expressões, percebemos que tanto a energia cinética quanto a potencial possuem um termo $ e^{-2\gamma t} $, que indica que a energia total decai exponencialmente com o tempo devido ao amortecimento. Além disso, usando identidades trigonométricas, a soma das duas energias resulta em:
e^-2gamma t
Onde $ E_0 $ é a energia mecânica inicial do sistema.

Resposta

A energia mecânica em função do tempo para o oscilador harmônico amortecido é dada por:
E(t) = E0 e^-2gamma t
onde $ E_0 $ é a energia inicial e $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de amortecimento.

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