O que se pode afirmar sobre a taxa de variação da energia mecânica instantânea?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A questão é: “O que se pode afirmar sobre a taxa de variação da energia mecânica instantânea?”. A matéria envolvida aqui é Energia Mecânica e Cálculo de Taxas de Variação. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é energia mecânica, como ela se comporta e como calcular a sua taxa de variação no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é energia mecânica. Ela é a soma da energia cinética (energia do movimento) e da energia potencial (energia armazenada devido à posição). Ou seja:
Em = Ec + Ep
Onde:
  • $ E_m $ é a energia mecânica,
  • $ E_c = \frac{1}{2}mv^2 $ (energia cinética),
  • $ E_p $ pode variar dependendo do tipo de potencial, como $ mgh $ para energia potencial gravitacional.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da energia mecânica em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dE_m}{dt} $. Para isso, vamos derivar a expressão da energia mecânica em relação ao tempo:
dEmdt

Passo 4

Vamos calcular cada derivada separadamente. Primeiro, a derivada da energia cinética:
dEcdt = ddt(12mv^2) = mv dvdt
Aqui, $ \frac{dv}{dt} $ é a aceleração $ a $, então:
dvdt

Passo 5

Agora, a derivada da energia potencial depende do tipo de energia potencial. Vamos considerar a energia potencial gravitacional $ E_p = mgh $, onde $ h $ é a altura:
Ep = mgh
Aqui, $ \frac{dh}{dt} $ é a velocidade $ v $:
h

Passo 6

Juntando as duas derivadas, temos:
dEmdt = mva + mgv = mv(a + g)

Passo 7

Vamos lembrar que a força resultante $ F $ é relacionada à massa e aceleração por $ F = ma $, e que $ F - mg = m(a - g) $ é a força não gravitacional atuando no objeto.
A taxa de variação da energia mecânica então pode ser relacionada a essa força não gravitacional.

Passo 8

A conclusão é que a taxa de variação da energia mecânica instantânea é igual ao trabalho realizado pelas forças não conservativas.

Resposta

A taxa de variação da energia mecânica instantânea equivale ao trabalho das forças não conservativas atuando no sistema.

Exercícios relacionados