Considere e a frequência angular e período de uma oscilação. Mostre que
Dica: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações! O problema nos pede para mostrar que a média de ao longo de um período é igual a . Para isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica e depois integrar essa expressão ao longo de um período.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a dica que o próprio exercício deu: . Essa identidade é super útil porque transforma o quadrado de um cosseno em uma expressão mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos substituir pela identidade:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
A primeira integral é fácil:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Sabemos que a integral de é . Aplicando isso:
Como T é o período da oscilação, sabemos que omega T = 2pi. Então: