Considere omega e T a frequência angular e período de uma oscilação. Mostre que
1T integral0^T cos ^2(omega t) d t=12
Dica: cos ^2 x=12[1+cos 2 x] ; sin ^2 x=12[1-cos 2 x].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações! O problema nos pede para mostrar que a média de cos^2(omega t) ao longo de um período T é igual a 12. Para isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica cos^2 x e depois integrar essa expressão ao longo de um período.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a dica que o próprio exercício deu: cos^2 x = 12(1 + cos 2x). Essa identidade é super útil porque transforma o quadrado de um cosseno em uma expressão mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos substituir cos^2(omega t) pela identidade:
cos^2(omega t) = 12[1 + cos(2omega t)]
Então, nossa integral fica:
1T integral0^T cos^2(omega t) , dt = 1T integral0^T 12[1 + cos(2omega t)] , dt

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
1T cdot 12 integral0^T [1 + cos(2omega t)] , dt = 12T ( integral0^T 1 , dt + integral0^T cos(2omega t) , dt )
A primeira integral é fácil:
integral0^T 1 , dt = T

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^T cos(2omega t) , dt
Sabemos que a integral de cos(k t) é sin(k t)k. Aplicando isso:
integral0^T cos(2omega t) , dt = sin(2omega t)2omega |0^T = sin(2omega T) - sin(0)2omega = sin(2omega T)2omega
Como T é o período da oscilação, sabemos que omega T = 2pi. Então:
sin(2omega T) = sin(4pi) = 0
Portanto, a segunda integral é zero.

Passo 6

Voltando à expressão original:
12T ( T + 0 ) = 12T cdot T = 12

Resposta

1T integral0^T cos ^2(omega t) , dt = 12

Exercícios relacionados