Calcule a expressão.
f) \log _{7} 7^{10}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \log_{7} 7^{10}.
Informações dadas: a expressão é um logaritmo de base 7 aplicado a 7^{10}. Observação importante: a base 7 é positiva e diferente de 1, então o logaritmo está bem definido.

Passo 2

Definição de logaritmo (explicação didática): dizer que
\log_{a} b = c
significa exatamente que
a^{c} = b.
Aqui a é a base do logaritmo (deve ser a>0 e a\neq1), b é o número cujo logaritmo calculamos (deve ser b>0), e c é o resultado (o expoente ao qual devemos elevar a para obter b).

Passo 3

Propriedade-chave usada (e por que ela vale): para qualquer base a>0, a\neq1, e qualquer número real k,
\log_{a} a^{k} = k.
Demonstração simples: seja x=\log_{a} a^{k}. Pela definição de logaritmo temos a^{x}=a^{k}. Como a função exponencial a^{t} (com a>0, a\neq1) é injetiva (ou seja, se a^{x}=a^{k} então x=k), concluímos que x=k. Logo \log_{a} a^{k}=k. Em palavras: o logaritmo “cancela” a potência quando a base coincide.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao problema: aqui a=7 e k=10. Como a base é a mesma (estamos calculando o logaritmo de 7^{10} na base 7), vale a propriedade direta:
\log_{7} 7^{10}=10.

Passo 5

Checagem com exemplos semelhantes para fixar:
  • \log_{2} 2^{5}=5 porque precisamos elevar 2 a 5 para obter 2^{5}.
  • \log_{3} 9=\log_{3} 3^{2}=2 porque 3^{2}=9.
    Esses exemplos mostram a mesma ideia: quando o argumento do logaritmo é uma potência com a mesma base, o resultado é o expoente.

Resposta

10

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