Calcule a expressão.
f)
f)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor de
.
Informações dadas: a expressão é um logaritmo de base aplicado a
. Observação importante: a base
é positiva e diferente de
, então o logaritmo está bem definido.
Informações dadas: a expressão é um logaritmo de base
Passo 2
Definição de logaritmo (explicação didática): dizer que
significa exatamente que
.
Aqui é a base do logaritmo (deve ser
e
),
é o número cujo logaritmo calculamos (deve ser
), e
é o resultado (o expoente ao qual devemos elevar
para obter
).
significa exatamente que
Aqui
Passo 3
Propriedade-chave usada (e por que ela vale): para qualquer base
,
, e qualquer número real
,
.
Demonstração simples: seja . Pela definição de logaritmo temos
. Como a função exponencial
(com
,
) é injetiva (ou seja, se
então
), concluímos que
. Logo
. Em palavras: o logaritmo “cancela” a potência quando a base coincide.
Demonstração simples: seja
Passo 4
Aplicando a propriedade ao problema: aqui
e
. Como a base é a mesma (estamos calculando o logaritmo de
na base
), vale a propriedade direta:
.
Passo 5
Checagem com exemplos semelhantes para fixar:
-
porque precisamos elevar a para obter . -
porque .
Esses exemplos mostram a mesma ideia: quando o argumento do logaritmo é uma potência com a mesma base, o resultado é o expoente.