Simplifique a expressão e elimine os expoentes negativos. Assuma que todas as letras denotam números positivos.
k) \sqrt{\frac{16 u^{3} v}{u v^{5}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e eliminar expoentes negativos da expressão abaixo, assumindo que todas as letras representam números positivos:
\sqrt{\frac{16 u^{3} v}{u v^{5}}}
Informações dadas: 16, u^{3}, v, u, v^{5} e a raiz quadrada externa. Pedido: simplificar totalmente e escrever sem expoentes negativos.

Passo 2

Antes de mexer na conta, vamos lembrar algumas regras que vamos usar (e eu explico calminho, como se estivéssemos na frente da prova):
  • Regra de divisão de potências com mesma base: \displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Aqui a é uma base (número ou variável) e m,n são expoentes.
  • Raiz como potência: \displaystyle \sqrt{x}=x^{1/2}. Mais geral, \sqrt[p]{x}=x^{1/p}.
  • Potência de potência: \displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}.
  • Para números/variáveis positivas, \sqrt{x^{2}}=x. Importante: a hipótese de que as letras são positivas nos permite trocar \sqrt{u^{2}} por u sem tirar valor absoluto.
    Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro simplificamos a fração dentro da raiz usando a regra de divisão de potências com mesma base:
\frac{16 u^{3} v}{u v^{5}} = 16 \cdot \frac{u^{3}}{u} \cdot \frac{v}{v^{5}}.
Agora subtraímos os expoentes nas bases iguais:
\frac{u^{3}}{u} = u^{3-1}=u^{2}, \qquad \frac{v}{v^{5}} = v^{1-5}=v^{-4}.
Portanto a expressão dentro da raiz fica
16\,u^{2} v^{-4}.

Passo 4

Agora aplicamos a raiz quadrada (ou potência 1/2) sobre o produto. Usamos \sqrt{\cdot}=(\cdot)^{1/2} e a regra de potência de potência:
\left(16\,u^{2} v^{-4}\right)^{1/2} =16^{1/2}\,u^{2\cdot(1/2)}\,v^{-4\cdot(1/2)}.
Calculemos os expoentes:
16^{1/2}=4,\qquad 2\cdot\frac{1}{2}=1,\qquad -4\cdot\frac{1}{2}=-2.
Isso nos dá, ainda em forma com expoente negativo,
4\,u^{1}\,v^{-2},
ou simplesmente 4u\,v^{-2}.

Passo 5

Agora eliminamos o expoente negativo. Lembrando que v^{-2}=\dfrac{1}{v^{2}}, temos
4u\,v^{-2}=4u\cdot \frac{1}{v^{2}}.
Multiplicando, obtemos a forma sem expoentes negativos (a mesma que se obtém se, em vez de usar potências, tivéssemos cancelado u e v antes de tirar a raiz):
\frac{4u}{v^{2}}.

Passo 6

Comentário rápido de verificação (útil para a prova): outra rota — cancelar potências antes da raiz — dá o mesmo: \dfrac{16u^{3}v}{uv^{5}}=\dfrac{16u^{2}}{v^{4}}, e então \sqrt{\dfrac{16u^{2}}{v^{4}}}=\dfrac{\sqrt{16}\sqrt{u^{2}}}{\sqrt{v^{4}}}=\dfrac{4u}{v^{2}} usando que u>0 e v>0.

Resposta

\dfrac{4u}{v^{2}}

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