Calcule a expressão.
e) \log _{9} 81

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{9}81.
Informações dadas: a base do logaritmo é \,9 e o argumento é \,81.
Questão: encontrar o número x tal que \log_{9}81 = x.

Passo 2

Lembrete importante (definição de logaritmo): dizer que \log_{b}a = c significa, por definição, que
b^{c} = a,
onde b>0, b\neq 1 e a>0.
Exemplo rápido para fixar: \log_{10}100 = 2 porque 10^{2}=100. Aqui cada símbolo significa: b é a base do logaritmo, a é o número cujo logaritmo queremos, e c é o resultado que procuramos.

Passo 3

Aplique a definição ao nosso caso. Seja
x=\log_{9}81.
Pela definição, isso equivale a
9^{x}=81.

Passo 4

É mais simples trabalhar escrevendo 9 e 81 como potências de um mesmo número. Observamos que ambos são potências de 3:
9 = 3^{2}\quad\text{e}\quad 81 = 3^{4}.
Substituindo em 9^{x}=81 obtemos
(3^{2})^{x} = 3^{4}.

Passo 5

Use a regra de potências (a^{m})^{n} = a^{mn}. Aplicando aqui,
(3^{2})^{x} = 3^{2x}.
Portanto a igualdade vira
3^{2x} = 3^{4}.

Passo 6

Como as duas potências têm a mesma base 3 (e 3>0, 3\neq1), os expoentes devem ser iguais:
2x = 4.
Resolvendo para x,
x = \frac{4}{2} = 2.

Passo 7

(Verificação alternativa rápida usando mudança de base) A fórmula de mudança de base diz que
\log_{9}81 = \frac{\ln 81}{\ln 9} = \frac{4\ln 3}{2\ln 3} = 2,
confirmando o resultado anterior. Bom trabalho — você conseguiu!

Resposta

2

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