Calcule a expressão.
m) \log _{8} 0,25

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \log_{8} 0,25. Informações dadas que vamos usar: o logaritmo tem base 8 e argumento 0,25 (vinte e cinco centésimos).

Passo 2

Vamos reescrever o número 0,25 em uma forma que facilite trabalhar com potências. Primeiro escrevemos como fração:
0,25 = \frac{1}{4}.
Agora reconhecemos 4 como potência de 2:
4 = 2^{2},
logo
\frac{1}{4} = \frac{1}{2^{2}} = 2^{-2}.
Portanto 0,25 = 2^{-2}.

Passo 3

Reescrevemos também a base 8 como potência de 2. Sabemos que
8 = 2^{3}.

Passo 4

Usamos uma propriedade muito útil de logaritmos: quando tanto a base quanto o argumento são potências da mesma base b, vale
\log_{b^{k}}(b^{m}) = \frac{m}{k}.
Justificação curta dessa propriedade: pela fórmula de mudança de base \log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}, temos
\log_{b^{k}}(b^{m}) = \frac{\ln(b^{m})}{\ln(b^{k})} = \frac{m\ln b}{k\ln b} = \frac{m}{k}.
Essa propriedade é prática porque faz as potências “cortarem” umas às outras.

Passo 5

Aplicamos a propriedade com b=2, k=3 (pois 8=2^{3}) e m=-2 (pois 0,25=2^{-2}):
\log_{8} 0,25 = \log_{2^{3}}(2^{-2}) = \frac{-2}{3}.
Explicando em palavras: o logaritmo pede o número que, elevado à base 8, dá 0,25. Escrevendo ambos em potências de 2 a relação entre expoentes é -2 dividido por 3.

Passo 6

(Apenas para ver outra abordagem — não necessária na prova) Usando a mudança de base diretamente com logaritmo decimal ou natural:
\log_{8} 0,25 = \frac{\ln(0,25)}{\ln(8)} = \frac{\ln(2^{-2})}{\ln(2^{3})} = \frac{-2\ln 2}{3\ln 2} = -\frac{2}{3},
chegamos ao mesmo resultado. Isso reforça a ideia da Passo 4.

Resposta

-\frac{2}{3}

Exercícios relacionados