Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4, \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} no ponto \mathrm{P}(1, \sqrt{3}) e \frac{d x}{d y}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular \dfrac{dy}{dx} no ponto P(1,\sqrt{3}) e calcular \dfrac{dx}{dy}, dadas as informações:
x^{2}+y^{2}=4
Dados relevantes:
A equação implícita da curva é x^{2}+y^{2}=4.
O ponto onde devemos avaliar \dfrac{dy}{dx} é P(1,\sqrt{3}).
Queremos também \dfrac{dx}{dy} (presumivelmente em geral e/ou no mesmo ponto).
Passo 2
Conceito e técnica que vamos usar: diferenciação implícita. Aqui y é, em geral, uma função implícita de x (ou vice-versa). Quando diferenciamos ambos os lados de uma igualdade que envolve y, usamos a regra da cadeia para termos que dependem de y.
Explicando a regra da cadeia de forma simples: se y depende de x, a derivada de y^{2} em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx},
porque primeiro derivamos a potência u^{2} em relação a u (obtendo 2u) e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x (que é \tfrac{dy}{dx}).
Passo 3
Aplicamos diferenciação implícita na equação x^{2}+y^{2}=4 diferenciando ambos os lados em relação a x.
Agora calculamos \dfrac{dx}{dy}. Duas maneiras: (A) reconhecer que, quando ambas as derivadas existem e são não nulas, \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}; ou (B) diferenciar a equação original em relação a y e isolar \dfrac{dx}{dy}. Vou fazer as duas para fixar a ideia.
Método (B) — diferenciando em relação a y:
Derivando x^{2}+y^{2}=4 em relação a y:
Observação de consistência: usando a relação recíproca \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}, com \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{P}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, obtemos \left.\dfrac{dx}{dy}\right|_{P}=-\sqrt{3}, que coincide com o resultado acima.