Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo:
\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=4, \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} no ponto \mathrm{P}(1, \sqrt{3}) e \frac{d x}{d y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular \dfrac{dy}{dx} no ponto P(1,\sqrt{3}) e calcular \dfrac{dx}{dy}, dadas as informações:
x^{2}+y^{2}=4
Dados relevantes:
  • A equação implícita da curva é x^{2}+y^{2}=4.
  • O ponto onde devemos avaliar \dfrac{dy}{dx} é P(1,\sqrt{3}).
  • Queremos também \dfrac{dx}{dy} (presumivelmente em geral e/ou no mesmo ponto).

Passo 2

Conceito e técnica que vamos usar: diferenciação implícita. Aqui y é, em geral, uma função implícita de x (ou vice-versa). Quando diferenciamos ambos os lados de uma igualdade que envolve y, usamos a regra da cadeia para termos que dependem de y.
Explicando a regra da cadeia de forma simples: se y depende de x, a derivada de y^{2} em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx},
porque primeiro derivamos a potência u^{2} em relação a u (obtendo 2u) e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x (que é \tfrac{dy}{dx}).

Passo 3

Aplicamos diferenciação implícita na equação x^{2}+y^{2}=4 diferenciando ambos os lados em relação a x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=\frac{d}{dx}(4).
Agora computamos cada derivada:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x,
\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)=2y\cdot\frac{dy}{dx},
\frac{d}{dx}(4)=0.
Substituindo:
2x+2y\frac{dy}{dx}=0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Da equação 2x+2y\frac{dy}{dx}=0 temos:
2y\frac{dy}{dx}=-2x.
Dividindo por 2y (assumindo y\neq0, o que vale para nosso ponto P porque \sqrt{3}\neq0):
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.
Então a fórmula geral para a derivada é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}.

Passo 5

Agora avaliamos \dfrac{dy}{dx} no ponto P(1,\sqrt{3}). Substituindo x=1 e y=\sqrt{3} em \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}:
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{P}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Para uma forma mais habitual sem raiz no denominador, racionalizamos (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}):
-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.
Portanto \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{P}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{dx}{dy}. Duas maneiras: (A) reconhecer que, quando ambas as derivadas existem e são não nulas, \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}; ou (B) diferenciar a equação original em relação a y e isolar \dfrac{dx}{dy}. Vou fazer as duas para fixar a ideia.
Método (B) — diferenciando em relação a y:
Derivando x^{2}+y^{2}=4 em relação a y:
\frac{d}{dy}\big(x^{2}\big)+\frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=\frac{d}{dy}(4).
Aqui \frac{d}{dy}\big(x^{2}\big)=2x\cdot\frac{dx}{dy} (regra da cadeia) e \frac{d}{dy}\big(y^{2}\big)=2y. Assim:
2x\frac{dx}{dy}+2y=0.
Isolando \dfrac{dx}{dy}:
2x\frac{dx}{dy}=-2y\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dy}=-\frac{y}{x}.

Passo 7

Avaliamos \dfrac{dx}{dy} no ponto P(1,\sqrt{3}). Substituindo x=1 e y=\sqrt{3}:
\left.\frac{dx}{dy}\right|_{P}=-\frac{\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}.
Observação de consistência: usando a relação recíproca \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{dy/dx}, com \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{P}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}, obtemos \left.\dfrac{dx}{dy}\right|_{P}=-\sqrt{3}, que coincide com o resultado acima.

Resposta

\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{P}=-\frac{\sqrt{3}}{3}
\displaystyle \left.\frac{dx}{dy}\right|_{P}=-\sqrt{3}

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