Resolva os problemas a seguir:
A equação do movimento de uma partícula é
, s em metros, t em segundos. Determine:
) o instante em que a velocidade é de
.
) a distância percorrida até esse instante.
) a aceleração da partícula quando
seg.
A equação do movimento de uma partícula é
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
com
em metros e
em segundos. As perguntas são:
a_1) determinar o instante em que a velocidade vale ;
a_2) determinar a distância percorrida até esse instante (assumirei que é desde até o instante encontrado, já que não foi especificado outro instante inicial);
a_3) determinar a aceleração da partícula quando .
a_1) determinar o instante em que a velocidade vale
a_2) determinar a distância percorrida até esse instante (assumirei que é desde
a_3) determinar a aceleração da partícula quando
Informações relevantes dadas: a expressão de
para todo
real (a raiz cúbica está definida para todos os reias).
Passo 2
Primeiro precisamos achar a velocidade em função do tempo. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vou explicar a regra que usamos: se temos uma função
, a derivada é
que é a regra da cadeia combinada com a regra do poder (power rule). Aqui
e
. Como
, temos:
Esse é o valor da velocidade em
para qualquer
. Observe que a derivada está escrita em notação com expoente negativo; isso significa
.
Passo 3
Agora resolvemos a equação pedida em (a_1): achar
tal que
. Escrevendo a igualdade e isolando:
Multiplico os dois lados por
:
Tomando o inverso dos dois lados (ou equivalente: elevando ambos os lados a
):
Agora elevamos ambos os lados à potência
para eliminar o expoente
:
Calculando
:
. Portanto
Conclusão: o instante procurado é
. Vou comentar: como
para todo
, essa solução é única no intervalo considerado.
Passo 4
Pedido (a_2): distância percorrida desde
até
. Quando o movimento é monótono (aqui
é crescente porque
para
), a distância percorrida é simplesmente a diferença das posições finais e iniciais:
Calculamos
e
:
Logo a distância percorrida é
Se quiser uma aproximação decimal:
, então
.
Passo 5
Pedido (a_3): aceleração em
. A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
Partimos de
. Aplicando novamente a regra do poder e a regra da cadeia:
Agora avaliamos em
:
Podemos simplificar
usando
:
. Mantendo uma forma explícita temos
Se quisermos valor numérico, calculamos
, então
O sinal negativo significa que a aceleração está no sentido de reduzir a rapidez (ou seja, a velocidade está diminuindo com o tempo naquele instante).
Resposta
a_1)
a_2)
a_3)
a_2)
a_3)