Resolva os problemas a seguir:
A equação do movimento de uma partícula é s(t)=\sqrt[3]{t+2}, s em metros, t em segundos. Determine:
\mathrm{a}_{1} ) o instante em que a velocidade é de 1 / 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
\mathrm{a}_{2} ) a distância percorrida até esse instante.
\mathrm{a}_{3} ) a aceleração da partícula quando \mathrm{t}=2 seg.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo:
s(t)=\sqrt[3]{t+2} = (t+2)^{1/3},
com s em metros e t em segundos. As perguntas são:
a_1) determinar o instante em que a velocidade vale 1/12\\ \mathrm{m/s};
a_2) determinar a distância percorrida até esse instante (assumirei que é desde t=0 até o instante encontrado, já que não foi especificado outro instante inicial);
a_3) determinar a aceleração da partícula quando t=2\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes dadas: a expressão de s(t) para todo t real (a raiz cúbica está definida para todos os reias).

Passo 2

Primeiro precisamos achar a velocidade em função do tempo. Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vou explicar a regra que usamos: se temos uma função s(t) = (u(t))^{n}, a derivada é
s'(t) = n\,(u(t))^{n-1}\cdot u'(t),
que é a regra da cadeia combinada com a regra do poder (power rule). Aqui u(t)=t+2 e n=1/3. Como u'(t)=1, temos:
v(t)=s'(t)=\frac{1}{3}(t+2)^{-2/3}.
Esse é o valor da velocidade em \mathrm{m/s} para qualquer t. Observe que a derivada está escrita em notação com expoente negativo; isso significa (t+2)^{-2/3} = 1/(t+2)^{2/3}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação pedida em (a_1): achar t tal que v(t)=\tfrac{1}{12}. Escrevendo a igualdade e isolando:
\frac{1}{3}(t+2)^{-2/3}=\frac{1}{12}.
Multiplico os dois lados por 3:
(t+2)^{-2/3}=\frac{1}{4}.
Tomando o inverso dos dois lados (ou equivalente: elevando ambos os lados a -1):
(t+2)^{2/3}=4.
Agora elevamos ambos os lados à potência 3/2 para eliminar o expoente 2/3:
t+2 = 4^{3/2}.
Calculando 4^{3/2}: 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Portanto
t+2=8 \quad\Rightarrow\quad t=6.
Conclusão: o instante procurado é t=6\\ \mathrm{s}. Vou comentar: como v(t)>0 para todo t\neq -2, essa solução é única no intervalo considerado.

Passo 4

Pedido (a_2): distância percorrida desde t=0 até t=6. Quando o movimento é monótono (aqui s(t) é crescente porque v(t)>0 para t>-2), a distância percorrida é simplesmente a diferença das posições finais e iniciais:
\text{distância} = s(6)-s(0).â
Calculamos s(6) e s(0):
s(6)=\sqrt[3]{6+2}=\sqrt[3]{8}=2,
s(0)=\sqrt[3]{0+2}=\sqrt[3]{2}.
Logo a distância percorrida é
2-\sqrt[3]{2}\\ \text{metros}.
Se quiser uma aproximação decimal: \sqrt[3]{2}\approx 1{,}2599, então 2-\sqrt[3]{2}\approx 0{,}7401\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Pedido (a_3): aceleração em t=2\\ \mathrm{s}. A aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=v'(t)=s''(t).
Partimos de v(t)=\dfrac{1}{3}(t+2)^{-2/3}. Aplicando novamente a regra do poder e a regra da cadeia:
a(t)=\frac{1}{3}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)(t+2)^{-5/3} = -\frac{2}{9}(t+2)^{-5/3}.
Agora avaliamos em t=2:
a(2) = -\frac{2}{9}(2+2)^{-5/3} = -\frac{2}{9}\cdot 4^{-5/3}.
Podemos simplificar 4^{-5/3} usando 4=(2^2): 4^{-5/3} = 2^{-10/3}. Mantendo uma forma explícita temos
a(2) = -\frac{2}{9}\,4^{-5/3}.
Se quisermos valor numérico, calculamos 4^{5/3}=2^{10/3}\approx 10{,}079368, então
a(2)\approx -0{,}02205\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O sinal negativo significa que a aceleração está no sentido de reduzir a rapidez (ou seja, a velocidade está diminuindo com o tempo naquele instante).

Resposta

a_1) t=6\\ \mathrm{s}
a_2) \;2-\sqrt[3]{2}\\ \mathrm{m}
a_3) \;a(2)=-\dfrac{2}{9}\,4^{-5/3}\approx -0{,}02205\\ \mathrm{m/s^{2}}

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