Calcule a expressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaixo: y^{4}+3 y-4 x^{2}=5 x+1, \frac{d y}{d x} no ponto \mathrm{P}(-1,0)
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre x e y
y^{4}+3y-4x^{2}=5x+1
e pede a derivada \dfrac{dy}{dx} no ponto P(-1,0). Informação importante fornecida: as coordenadas do ponto são x=-1 e y=0. A missão é calcular \dfrac{dy}{dx} nesse ponto sem resolver explicitamente y em função de x.
Passo 2
Como y depende de x (mesmo que não esteja isolada), vamos usar diferenciação implícita: diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes de diferenciar, lembro duas regras que usaremos:
Regra da cadeia para potências de y: se y=y(x), então a derivada de y^{n} é n\,y^{n-1}\dfrac{dy}{dx}. Aqui \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x, que também chamaremos de y'.
Derivada de potência de x: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Derivada de constante é 0; derivada de 5x é 5.
Vou usar y' como abreviação de \dfrac{dy}{dx} para deixar as contas mais claras.
Passo 3
Diferenciando termo a termo (cada fórmula matemática está isolada em bloco):
\frac{d}{dx}\big(y^{4}\big)=4y^{3}y'
\frac{d}{dx}\big(3y\big)=3y'
\frac{d}{dx}\big(-4x^{2}\big)=-8x
\frac{d}{dx}\big(5x+1\big)=5
Agora aplico essas derivadas à equação original, obtendo:
4y^{3}y' + 3y' - 8x = 5
Passo 4
Isolo y' somando 8x em ambos os lados e fatorando y':
4y^{3}y' + 3y' = 5 + 8x
(4y^{3} + 3)\,y' = 5 + 8x
Portanto a expressão geral para a derivada implícita é
y' = \frac{5 + 8x}{4y^{3} + 3}
Nota rápida: é preciso garantir que o denominador 4y^{3}+3 não seja zero no ponto onde avaliamos; caso fosse zero teríamos problema (não poderia isolar y' dessa forma).
Passo 5
Agora avaliamos a fórmula no ponto P(-1,0). Substituo x=-1 e y=0:
Numerador:
5 + 8x = 5 + 8(-1) = 5 - 8 = -3
Denominador:
4y^{3} + 3 = 4\cdot 0^{3} + 3 = 0 + 3 = 3
Como o denominador é 3\neq 0, está tudo certo. Logo
y'\big|_{P} = \frac{-3}{3} = -1.
Interpretação rápida: a inclinação da reta tangente à curva no ponto P(-1,0) é -1.