Resolva os problemas a seguir:
Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de 17 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} e o outro lado está decrescendo a uma taxa de 5 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}. Num certo instante, os comprimentos desses lados são 10 cm e 7 cm , respectivamente. A área do retângulo está crescendo ou decrescendo neste instante? A que velocidade?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar se a área do retângulo está crescendo ou decrescendo num certo instante e a que velocidade isso ocorre.
Informações fornecidas:
  • Um lado tem comprimento 10\\ \mathrm{cm} nesse instante.
  • O outro lado tem comprimento 7\\ \mathrm{cm} nesse instante.
  • Um lado está crescendo a 17\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}.
  • O outro lado está decrescendo a 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}.

Passo 2

Definimos variáveis para organizar o problema: seja x(t) o comprimento do primeiro lado (em \mathrm{cm}) e y(t) o comprimento do segundo lado (em \mathrm{cm}), ambos dependentes do tempo t (em minutos). A área A(t) do retângulo é dada por
A(t)=x(t)\,y(t).
Agora precisamos relacionar as taxas de variação: queremos \dfrac{dA}{dt} em função de \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt}. Para isso usamos a regra do produto (uma forma do teorema da derivada): se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{dt}\big(u(t)v(t)\big)=u(t)\frac{dv}{dt}+v(t)\frac{du}{dt}.
Aplicando ao nosso caso com u=x e v=y, obtemos a relação entre as taxas:
\frac{dA}{dt}=x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}.
Aqui cada termo significa: x\frac{dy}{dt} é a contribuição da variação de y à mudança da área mantendo x momentaneamente, e y\frac{dx}{dt} é a contribuição da variação de x.

Passo 3

Agora atribuímos os valores numéricos dados. Tomando x=10\\ \mathrm{cm} e y=7\\ \mathrm{cm} no instante considerado. Das informações: um lado cresce a 17\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min} e o outro decresce a 5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min}. Precisamos identificar qual taxa corresponde a dx/dt e qual a dy/dt; seja dx/dt=17\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min} e dy/dt=-5\\ \mathrm{cm}/\mathrm{min} (note o sinal negativo porque “decrescendo” significa taxa negativa). Substituindo na fórmula:
\frac{dA}{dt}=x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=10\cdot(-5)+7\cdot 17.

Passo 4

Calculemos os termos separadamente para ficar bem claro:
10\cdot(-5)=-50,
7\cdot 17=119.
Somando:
\frac{dA}{dt}=-50+119=69\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{min}.
O resultado é positivo, portanto a área está crescendo nesse instante. O valor 69\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{min} indica a velocidade de crescimento da área.

Resposta

A área está crescendo; \dfrac{dA}{dt}=69\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{min}

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