Resolva os problemas a seguir:
Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de
e o outro lado está decrescendo a uma taxa de
. Num certo instante, os comprimentos desses lados são 10 cm e 7 cm , respectivamente. A área do retângulo está crescendo ou decrescendo neste instante? A que velocidade?
Um lado de um retângulo está crescendo a uma taxa de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar se a área do retângulo está crescendo ou decrescendo num certo instante e a que velocidade isso ocorre.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- Um lado tem comprimento
nesse instante. - O outro lado tem comprimento
nesse instante. - Um lado está crescendo a
. - O outro lado está decrescendo a
.
Passo 2
Definimos variáveis para organizar o problema: seja
o comprimento do primeiro lado (em
) e
o comprimento do segundo lado (em
), ambos dependentes do tempo
(em minutos). A área
do retângulo é dada por
Agora precisamos relacionar as taxas de variação: queremos
em função de
e
. Para isso usamos a regra do produto (uma forma do teorema da derivada): se
e
são funções, então
Aplicando ao nosso caso com
e
, obtemos a relação entre as taxas:
Aqui cada termo significa:
é a contribuição da variação de
à mudança da área mantendo
momentaneamente, e
é a contribuição da variação de
.
Passo 3
Agora atribuímos os valores numéricos dados. Tomando
e
no instante considerado. Das informações: um lado cresce a
e o outro decresce a
. Precisamos identificar qual taxa corresponde a
e qual a
; seja
e
(note o sinal negativo porque “decrescendo” significa taxa negativa). Substituindo na fórmula:
Passo 4
Calculemos os termos separadamente para ficar bem claro:
Somando:
O resultado é positivo, portanto a área está crescendo nesse instante. O valor
indica a velocidade de crescimento da área.
Resposta
A área está crescendo;