Calcule expressão para a velocidade de ressurgência w. Considere o fluido incompressível e o campo horizontal de velocidade VH=10^-3[(2 x+5 y) imath+(4 x- 5 y) jmath] e^de<a z. Considere a superfície do mar em z=0.
a) Calcule expressão para a velocidade de ressurgência w(z). (R: 0,003de<a(e^de<a z-1))
b) Calcule a expressão da advecção da temperatura devido à ressurgência considerando T=[2 y^2+x z^2].
(R: [(2 x+5 y) z^2+16 x y-20 y^2] e^de<a z+6 z xde<a(e^de<a z-1) 10^-3)
c) Calcule a advecção da temperatura no ponto ( -2,1,0 ). ( R:-0,052 ^circ C s^-1 )

Passo 1

O exercício pede três coisas:
  1. A gente tem um fluido incompressível com velocidade horizontal
vec VH=10^-3l[(2x+5y),hatimath+(4x-5y),hatjmathr]e^de<a z
e quer achar a componente vertical w(z) (ressurgência).
2) Usar esse w junto com vec VH para calcular a advecção de temperatura
vec Vcdotnabla T para
T(x,y,z)=2y^2+xz^2,
  1. Avaliar o resultado num ponto específico (-2,1,0).
Conteúdo que vamos usar:
  • Equação da continuidade para fluido incompressível ( nablacdotvec V=0).
  • Cálculo de divergência e integração para achar w.
  • Definição de advecção ( vec Vcdotnabla T).

Passo 2

Para fluido incompressível vale
nablacdotvec V ;=;partial upartial x+partial vpartial y+partial wpartial z=0
Aqui u=10^-3(2x+5y)e^de<a z e v=10^-3(4x-5y)e^de<a z. Então:
partial upartial x =10^-3,2,e^de<a z, partial vpartial y =10^-3(-5),e^de<a z,
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partial upartial x+partial vpartial y =(2-5),10^-3e^de<a z =-3times10^-3e^de<a z
Da continuidade vem
partial wpartial z =-l(partial upartial x+partial vpartial yr) =3times10^-3,e^de<a z
Integramos em z:
w(z) =integral 3cdot10^-3e^de<a z,dz =3cdot10^-3de<ae^de<a z+C
Como a superfície do mar ( z=0) não tem fluxo vertical a bordo, w(0)=0.
Isso dá
0=3cdot10^-3de<acdot1 +C ;Longrightarrow; C=-3cdot10^-3de<a
Assim
boxed,w(z)=0,003de<al(e^de<a z-1r),

Passo 3

Advecção de temperatura é
vec Vcdotnabla T =u,partial Tpartial x +v,partial Tpartial y +w,partial Tpartial z
Como T=2y^2+xz^2, temos
partial Tpartial x=z^2, partial Tpartial y=4y, partial Tpartial z=2xz
Já conhecemos
u=10^-3(2x+5y)e^de<a z, v=10^-3(4x-5y)e^de<a z, w=3cdot10^-3de<a(e^de<a z-1)
Então a parte horizontal
u,z^2+v,4y =10^-3l[(2x+5y)z^2+(4x-5y)4yr]e^de<a z =10^-3l[(2x+5y)z^2+16xy-20y^2r]e^de<a z
A parte vertical
w,(2xz) =3cdot10^-3de<a(e^de<a z-1),2xz =10^-3,6xzde<a(e^de<a z-1)
Somando, a advecção geral fica
boxed vec Vcdotnabla T =10^-3ll[(2x+5y)z^2+16xy-20y^2r]e^de<a z +6xzde<a(e^de<a z-1)r

Passo 4

No ponto (x,y,z)=(-2,1,0) vale z^2=0, e^de<acdot0=1 e e^de<a z-1=0.
Então dentro das chaves só sobra
(2x+5y)z^2=0, 16xy-20y^2=16(-2)(1)-20(1)^2=-32-20=-52,
e a parte vertical some (multiplicada por zero). Logo
vec Vcdotnabla T|(-2,1,0) =10^-3(-52)=-0,052[^circ C, s^-1]

Resposta

a) w(z)= 0,003de<al(e^de<a z-1r).
b) vec Vcdotnabla T =10^-3ll[(2x+5y)z^2+16xy-20y^2r]e^de<a z +6xzde<a(e^de<a z-1)r
c) Em (-2,1,0), vec Vcdotnabla T=-0,052 ^circ C, s^-1

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