Em um estuário tropical bem misturado, puramente forçado pela maré, cujas dimensões não são suficientes para que sua circulação seja influenciada pelo efeito de Coriolis, com viscosidade e turbulência desprezíveis, onde o nível da superfície obedece a eta= [0,02 x y+0,07 y^2] cos (omega t), e a pressão p=rho g eta; obtenha o vetor velocidade V e caracterize, horizontal e verticalmente, o padrão de circulação desse estuário: uniforme ou cisalhada (em qual(is) eixo(s)?); retilínea, circular, elíptica, oscilatória e/ou exponencial? Considere que para um instante t=0, V(t=0)=0 imath+0 jmath. Justifique sua resposta. (R: V= -gomega sen(omega t)[0,02 y imath+(0,02 x+0,14 y) jmath])

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um estuário tropical bem misturado, forçado só pela maré, sem Coriolis, sem viscosidade/turbulência. A superfície tem elevação
eta(x,y,t)=l(0,02,x,y + 0,07,y^2r),cos(omega t)
e a pressão em superfície é p=rho g eta. Precisamos achar o vetor velocidade vec V e depois falar se o escoamento é uniforme ou com cisalhamento (e em qual direção), e se é retilíneo, circular, elíptico, oscilatório ou exponencial. Vamos usar a equação de movimento linear sem atrito (∂V/∂t = –(1/ρ)∇p) e integrar em t com a condição inicial vec V(0)=0.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento invíscida e linear:
partial vec Vpartial t ;=; -1rho,nabla p e como p=rho,g,eta ;;Rightarrow;; partial vec Vpartial t = -g,nablaeta
Ou seja, a aceleração no fluido vem do gradiente espacial de eta.

Passo 3

Calcular nablaeta. Como
eta(x,y,t)=l(0,02,x,y + 0,07,y^2r)cos(omega t),
a derivada em x é
partialetapartial x =0,02,y,cos(omega t),
e em y é
partialetapartial y =l(0,02,x + 0,14,yr)cos(omega t)
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nablaeta =cos(omega t),l[,0,02,y;hatimath;+;(0,02,x+0,14,y);hatjmath,r]

Passo 4

Substituindo em partialtvec V=-g,nablaeta:
partial vec Vpartial t =-gcos(omega t)l[0,02,y;hatimath+(0,02,x+0,14,y);hatjmathr]
Integramos em t, lembrando que
integral cos(omega t),dt = 1omegasin(omega t), e a condição vec V(0)=0 mata a constante de integração. Assim
vec V(x,y,t) =-gomegasin(omega t),l[0,02,y,hatimath+(0,02,x+0,14,y),hatjmathr]

Passo 5

Agora a caracterização:
  1. Horizontalmente, upropto y e vpropto x,y. Como u varia com y e v varia com x e y, há cisalhamento em ambas direções horizontais.
  2. Verticalmente, não aparece z na fórmula, ou seja, é uniforme no vertical (não tem perfil com z).
  3. O escoamento em cada ponto oscila no tempo ( sin(omega t)), e o vetor velocidade aponta sempre na mesma direção no espaço (proporcional ao vetor fixo [0,02y,;0,02x+0,14y]), indo e voltando – é um movimento retilíneo periód ico (oscilações), não circular nem exponencial.

Resposta

boxedvec V(x,y,t) = -gomega,sin(omega t),l[,0,02,y,hatimath + (0,02,x + 0,14,y),hatjmathr]
Circulação: horizontalmente com cisalhamento em x e y; verticalmente uniforme; movimento retilíneo e oscilatório.

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