Calcule as expressões abaixo, simplificando o resultado. Sempre que necessário, suponha que os termos no interior das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero.
\left(\frac{6}{\sqrt{x}}-\frac{4}{\sqrt{y}}\right)\left(\frac{6}{\sqrt{x}}+\frac{4}{\sqrt{y}}\right)\left(\frac{x y}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão
\left(\frac{6}{\sqrt{x}}-\frac{4}{\sqrt{y}}\right)\left(\frac{6}{\sqrt{x}}+\frac{4}{\sqrt{y}}\right)\left(\frac{x y}{4}\right),
supondo que os termos dentro das raízes são não negativos e que os denominadores são diferentes de zero. Ou seja, \sqrt{x} e \sqrt{y} existem e são diferentes de zero.

Passo 2

Repare que as duas primeiras frações estão na forma de conjugados. Há uma identidade algébrica útil:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Explicando por que isso vale: ao multiplicar, os termos cruzados se cancelam,
(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.

Passo 3

Vamos aplicar a identidade com
a=\frac{6}{\sqrt{x}},\qquad b=\frac{4}{\sqrt{y}}.
Calculando a^2 e b^2: ao elevar uma fração ao quadrado, eleva-se numerador e denominador,
a^2=\left(\frac{6}{\sqrt{x}}\right)^2=\frac{6^2}{(\sqrt{x})^2}=\frac{36}{x}, \qquad b^2=\left(\frac{4}{\sqrt{y}}\right)^2=\frac{4^2}{(\sqrt{y})^2}=\frac{16}{y}.
Portanto as duas primeiras parênteses multiplicadas dão
\left(\frac{6}{\sqrt{x}}-\frac{4}{\sqrt{y}}\right)\left(\frac{6}{\sqrt{x}}+\frac{4}{\sqrt{y}}\right) =\frac{36}{x}-\frac{16}{y}.

Passo 4

Agora multiplicamos pelo terceiro fator \dfrac{xy}{4}. Fazendo a distribuição:
\left(\frac{36}{x}-\frac{16}{y}\right)\left(\frac{xy}{4}\right) =\frac{36}{x}\cdot\frac{xy}{4}-\frac{16}{y}\cdot\frac{xy}{4}.
Calculemos cada termo separadamente, simplificando antes de multiplicar:
\frac{36}{x}\cdot\frac{xy}{4}=\frac{36xy}{4x}=\frac{36\cancel{x}y}{4\cancel{x}}=\frac{36y}{4},
\frac{16}{y}\cdot\frac{xy}{4}=\frac{16xy}{4y}=\frac{16x\cancel{y}}{4\cancel{y}}=\frac{16x}{4}.

Passo 5

Agora simplificamos as constantes:
\frac{36y}{4}=9y,\qquad \frac{16x}{4}=4x.
Subtraindo os termos obtemos a forma simplificada final (aqui está o resultado da simplificação):
9y-4x.

Resposta

9y-4x

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