Calcule as expressões. Dica: não use a propriedade distributiva.
d) \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right).
Informações dadas: os dois fatores são números racionais, um é a diferença e o outro a soma das mesmas frações \dfrac{1}{2} e \dfrac{1}{3}.
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa multiplicação.

Passo 2

Vou usar a identidade conhecida “diferença de quadrados”, que permite calcular (a-b)(a+b) sem desenvolver os quatro termos (ou seja, sem usar a propriedade distributiva). A identidade é:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui a e b representam quaisquer números; no nosso caso a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{1}{3}. Essa fórmula é muito útil porque transforma um produto de soma e diferença em diferença de quadrados — geralmente mais simples de calcular.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso problema:
\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}.
Agora calculamos cada quadrado de fração. Lembrete: para elevar uma fração ao quadrado, eleva-se numerador e denominador ao quadrado:
\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1^{2}}{2^{2}}=\dfrac{1}{4}, \qquad \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1^{2}}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}.

Passo 4

Agora fazemos a diferença entre as duas frações \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}. Para subtrair frações, colocamos no mesmo denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4 e 9 é 36. Convertendo:
\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{36}, \qquad \dfrac{1}{9}=\dfrac{4}{36}.
Subtraindo os numeradores:
\dfrac{9}{36}-\dfrac{4}{36}=\dfrac{9-4}{36}=\dfrac{5}{36}.

Passo 5

Portanto o valor da expressão é \dfrac{5}{36}. Boa! Isso evitou multiplicar term por term e usou uma identidade rápida e elegante.

Resposta

\dfrac{5}{36}

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