Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
g) \sqrt[m]{x^{n}}-\frac{\sqrt[m]{x}-x}{\sqrt[m]{x^{1-n}}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão e apresentar o resultado na forma de raiz (ou seja, usando símbolos de raiz, não potência). A expressão é
\sqrt[m]{x^{n}}-\frac{\sqrt[m]{x}-x}{\sqrt[m]{x^{1-n}}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As letras m, n e x aparecem na expressão; não foram fornecidos valores numéricos, então a resposta deve ser algébrica em função de m, n e x.
  • Há raízes do tipo \sqrt[m]{\cdot}, portanto vale observar o domínio: se m for par, normalmente exige-se x\ge 0; se m for ímpar, raízes de números negativos também são permitidas. Vou assumir que os valores de x e m são tais que as raízes estão bem definidas.
  • O objetivo é simplificar a expressão e escrever o resultado usando raízes (símbolo \sqrt[m]{\cdot}).

Passo 2

Uma propriedade muito útil de raízes é que elas se comportam bem com expoentes inteiros: para qualquer m e n inteiros adequados e x no domínio,
\sqrt[m]{x^{n}} = \bigl(\sqrt[m]{x}\bigr)^{n}.
Explicando por que: se definirmos r=\sqrt[m]{x} então r^{m}=x. Substituindo, \sqrt[m]{x^{n}}=\sqrt[m]{(r^{m})^{n}}=\sqrt[m]{r^{mn}}=r^{n}. Essa é a base que usaremos para reescrever as raízes como potências da mesma quantidade \sqrt[m]{x}, o que facilita operações algébricas.

Passo 3

Para simplificar de forma clara, faço a substituição auxiliar
r=\sqrt[m]{x}.
Com isso as partes da expressão ficam:
\sqrt[m]{x^{n}} = r^{n}, \qquad \sqrt[m]{x^{1-n}} = r^{1-n}, \qquad x = r^{m} \quad(\text{pois }r^{m}=x).

Passo 4

Reescrevo a expressão original em termos de r:
\sqrt[m]{x^{n}}-\frac{\sqrt[m]{x}-x}{\sqrt[m]{x^{1-n}}} = r^{n} - \frac{r - r^{m}}{r^{1-n}}.
Aqui apenas substituí cada raiz pela potência correspondente de r, usando o que mostrei no passo anterior.

Passo 5

Vamos simplificar a fração. Lembrando que dividir por r^{1-n} é o mesmo que multiplicar por r^{n-1}, pois
\frac{1}{r^{1-n}} = r^{n-1}.
Então
\frac{r - r^{m}}{r^{1-n}} = (r - r^{m})\cdot r^{n-1}.
Faço agora uma fatoração simples no numerador para deixar os cálculos bem claros:
r - r^{m} = r\bigl(1 - r^{m-1}\bigr).
Multiplicando por r^{n-1},
(r - r^{m})\cdot r^{n-1} = r^{n-1}\cdot r - r^{n-1}\cdot r^{m} = r^{n} - r^{n-1+m}.

Passo 6

Substituo essa simplificação de volta na expressão em r:
r^{n} - \frac{r - r^{m}}{r^{1-n}} = r^{n} - \bigl(r^{n} - r^{n-1+m}\bigr).
Agora basta realizar a subtração: os termos r^{n} se cancelam parcialmente.

Passo 7

Efetuando o cancelamento:
r^{n} - \bigl(r^{n} - r^{n-1+m}\bigr) = r^{n} - r^{n} + r^{n-1+m} = r^{n-1+m}.
Portanto, a expressão em termos de r ficou simplesmente r^{m+n-1} (reordenando o expoente: n-1+m = m+n-1).

Passo 8

Agora volto à variável original \sqrt[m]{x}, lembrando que r=\sqrt[m]{x}. Então
r^{m+n-1} = \bigl(\sqrt[m]{x}\bigr)^{\,m+n-1}.
Para apresentar o resultado na forma de raiz (como pediu o enunciado), posso reescrever essa potência de duas formas equivalentes em termos de raízes:
\bigl(\sqrt[m]{x}\bigr)^{\,m+n-1} = \sqrt[m]{x^{\,m+n-1}} \quad\text{ou}\quad \bigl(\sqrt[m]{x}\bigr)^{\,m+n-1} = x\cdot\sqrt[m]{x^{\,n-1}}.
Ambas são formas com raiz; vou escolher a forma direta com um único símbolo de raiz para a resposta final.

Resposta

\sqrt[m]{x^{\,m+n-1}}

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