Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão e apresentar o resultado na forma de raiz (ou seja, usando símbolos de raiz, não potência). A expressão é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As letras
, e aparecem na expressão; não foram fornecidos valores numéricos, então a resposta deve ser algébrica em função de , e . - Há raízes do tipo
, portanto vale observar o domínio: se for par, normalmente exige-se ; se for ímpar, raízes de números negativos também são permitidas. Vou assumir que os valores de e são tais que as raízes estão bem definidas. - O objetivo é simplificar a expressão e escrever o resultado usando raízes (símbolo
).
Passo 2
Uma propriedade muito útil de raízes é que elas se comportam bem com expoentes inteiros: para qualquer
e
inteiros adequados e
no domínio,
Explicando por que: se definirmos
então
. Substituindo,
. Essa é a base que usaremos para reescrever as raízes como potências da mesma quantidade
, o que facilita operações algébricas.
Passo 3
Para simplificar de forma clara, faço a substituição auxiliar
Com isso as partes da expressão ficam:
Passo 4
Reescrevo a expressão original em termos de
:
Aqui apenas substituí cada raiz pela potência correspondente de
, usando o que mostrei no passo anterior.
Passo 5
Vamos simplificar a fração. Lembrando que dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, pois
Então
Faço agora uma fatoração simples no numerador para deixar os cálculos bem claros:
Multiplicando por
,
Passo 6
Substituo essa simplificação de volta na expressão em
:
Agora basta realizar a subtração: os termos
se cancelam parcialmente.
Passo 7
Efetuando o cancelamento:
Portanto, a expressão em termos de
ficou simplesmente
(reordenando o expoente:
).
Passo 8
Agora volto à variável original
, lembrando que
. Então
Para apresentar o resultado na forma de raiz (como pediu o enunciado), posso reescrever essa potência de duas formas equivalentes em termos de raízes:
Ambas são formas com raiz; vou escolher a forma direta com um único símbolo de raiz para a resposta final.