Calcule as expressões e represente o resultado na forma de raiz, sem transformar em potências:
i) \frac{2-\sqrt{8}}{2+\sqrt{8}}=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a expressão e representar o resultado na forma de raiz (sem usar potências). A expressão dada é
\frac{2-\sqrt{8}}{2+\sqrt{8}}.
Informações relevantes fornecidas: o único dado é a própria expressão com a raiz \sqrt{8}.

Passo 2

Primeiro, simplificar \sqrt{8} escrevendo-o em termos de uma raiz mais simples. Como 8=4\cdot2 e \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}, temos
\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=\sqrt{4}\,\sqrt{2}=2\sqrt{2}.

Passo 3

Substituir \sqrt{8}=2\sqrt{2} na expressão e fatorar o fator comum 2:
\frac{2-\sqrt{8}}{2+\sqrt{8}}=\frac{2-2\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}}=\frac{2\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)}{2\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}.
Podemos cancelar o 2 comum ao numerador e denominador, ficando
\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora vamos eliminar a raiz do denominador (racionalizar) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de \bigl(1+\sqrt{2}\bigr) é \bigl(1-\sqrt{2}\bigr). A razão para isso é que
\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)=1-(\sqrt{2})^{2}=1-2,
ou seja, torna-se uma diferença de quadrados sem raiz no resultado. Multiplicando:
\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\cdot\frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{2})^{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}.

Passo 5

Calcular numerador e denominador separadamente.
Numerador: elevar o binómio ao quadrado (usar (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}):
(1-\sqrt{2})^{2}=1 - 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2}=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}.
Denominador: já calculado como diferença de quadrados,
(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1-(\sqrt{2})^{2}=1-2=-1.
Portanto a fração fica
\frac{3-2\sqrt{2}}{-1}=-3+2\sqrt{2}.
Reescrevendo de forma habitual:
2\sqrt{2}-3.

Passo 6

Verificação rápida (opcional): aproximando \sqrt{2}\approx1{,}414 temos 2\sqrt{2}-3\approx2{,}828-3=-0{,}172. Avaliando a expressão original com a mesma aproximação dá aproximadamente o mesmo valor, confirmando a consistência do resultado.

Resposta

2\sqrt{2}-3

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