Calcule as expressões e simplifique os resultados:
b) \frac{a^{n} \cdot b^{m}}{a^{m+1} \cdot b^{n+1}}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular e simplificar a expressão abaixo:
\frac{a^{n}\cdot b^{m}}{a^{m+1}\cdot b^{n+1}}.
Informações dadas (ou necessárias para que a expressão faça sentido):
  • Estão presentes as variáveis a e b e os expoentes m e n.
  • Para podermos dividir por a^{m+1} e por b^{n+1} assumimos que a\neq 0 e b\neq 0.
    A tarefa é simplificar essa expressão usando as regras de potenciação.

Passo 2

Relembrando as regras de potências que usaremos (explicado de forma simples):
  • Produto de potências de mesma base: para qualquer base x e expoentes p,q vale
x^{p}\cdot x^{q}=x^{p+q}.
Isso significa que, quando multiplicamos potências com a mesma base, somamos os expoentes.
  • Quociente de potências de mesma base: para x\neq 0,
\frac{x^{p}}{x^{q}}=x^{p-q}.
Ou seja, ao dividir potências da mesma base subtraímos os expoentes.
  • Expoente negativo: para x\neq 0 e k>0,
x^{-k}=\frac{1}{x^{k}}.
Isso nos permite transformar expoentes negativos em frações com expoentes positivos no denominador.

Passo 3

Primeiro, separamos os fatores de mesma base na fração para aplicar a regra do quociente de potências:
\frac{a^{n}\cdot b^{m}}{a^{m+1}\cdot b^{n+1}} = \frac{a^{n}}{a^{m+1}}\cdot\frac{b^{m}}{b^{n+1}}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente de potências a cada fração (subtraindo expoentes):
\frac{a^{n}}{a^{m+1}}=a^{\,n-(m+1)} \qquad\text{e}\qquad \frac{b^{m}}{b^{n+1}}=b^{\,m-(n+1)}.
Multiplicando os resultados:
\frac{a^{n}\cdot b^{m}}{a^{m+1}\cdot b^{n+1}}=a^{\,n-(m+1)}\cdot b^{\,m-(n+1)}.

Passo 5

Simplificamos as subtrações nos expoentes:
n-(m+1)=n-m-1 \qquad\text{e}\qquad m-(n+1)=m-n-1.
Portanto a expressão fica
a^{\,n-m-1}\cdot b^{\,m-n-1}.

Passo 6

Podemos também escrevê-la sem expoentes negativos, usando b^{m-n-1}=b^{-(n-m+1)}=\dfrac{1}{b^{\,n-m+1}}. Assim uma forma equivalente e muitas vezes mais prática é
\frac{a^{n-m-1}}{b^{\,n-m+1}}.

Resposta

\dfrac{a^{n-m-1}}{b^{\,n-m+1}}

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