integral-1^1 59+x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1 59 + x^2 , dx
O conteúdo principal aqui é reconhecer que 1a^2+x^2 tem como primitiva 1aarctan(x/a) e também explorar a paridade da função para simplificar o cálculo.

Passo 2

Observamos que a função
f(x)=59+x^2
é par, pois f(-x)=f(x). Logo, a integral de -1 a 1 se transforma em duas vezes a integral de 0 a 1:
integral-1^159+x^2,dx =2integral0^159+x^2,dx

Passo 3

Fatorando a constante 5 para fora, temos
2integral0^159+x^2,dx =10integral0^119+x^2,dx
Para integrar 19+x^2, reconhecemos a^2=9, logo a=3, e usamos
integral 1a^2+x^2,dx =1aarctanl(tfracxar)
Portanto,
integral 19+x^2,dx =13arctanl(tfracx3r)

Passo 4

Aplicando o limite de 0 a 1:
10integral0^119+x^2,dx =10[13arctanl(tfracx3r)]0^1 =103l(arctan(tfrac13)-arctan(0)r)
Como arctan(0)=0, sobra
103arctanl(tfrac13r)

Resposta

103arctan!l(tfrac13r)

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