Calcule: -F^-1{F{delta(t-3)} F{e^{-t}}}

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular:
Neste problema, vamos usar a Transformada de Fourier. Precisamos saber como transformar funções como o delta de Dirac deslocado e a exponencial, além de entender como multiplicar essas transformadas para obter a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Transformada de Fourier da função delta deslocada, . A propriedade da Transformada de Fourier para a função delta deslocada é:
Aqui, , então:
Isso significa que a transformada da função delta deslocada resulta em uma exponencial complexa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a Transformada de Fourier da função e^(-t). Vamos assumir que t ≥ 0. A transformada de , onde u(t) é a função degrau (ou função escalonada), é:
Aqui, , então:
Isso nos dá a transformada da função exponencial.

Passo 4

Agora, multiplicamos as duas transformadas que calculamos:
Essa multiplicação combina as duas transformadas no domínio da frequência.

Passo 5

Em seguida, aplicamos a Transformada Inversa de Fourier para encontrar a função no domínio do tempo. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso, onde e :
Isso significa que a transformada inversa nos dá uma função exponencial deslocada no tempo.

Passo 6

Finalmente, lembrando que temos um sinal negativo no começo da expressão original, a resposta fica:

Resposta

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