Calcule:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular:
Neste problema, vamos usar a Transformada de Fourier. Precisamos saber como transformar funções como o delta de Dirac deslocado e a exponencial, além de entender como multiplicar essas transformadas para obter a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a Transformada de Fourier da função delta deslocada,
. A propriedade da Transformada de Fourier para a função delta deslocada é:
Aqui,
, então:
Isso significa que a transformada da função delta deslocada resulta em uma exponencial complexa.
Passo 3
Agora, vamos calcular a Transformada de Fourier da função
. Vamos assumir que
. A transformada de
, onde
é a função degrau (ou função escalonada), é:
Aqui,
, então:
Isso nos dá a transformada da função exponencial.
Passo 4
Agora, multiplicamos as duas transformadas que calculamos:
Essa multiplicação combina as duas transformadas no domínio da frequência.
Passo 5
Em seguida, aplicamos a Transformada Inversa de Fourier para encontrar a função no domínio do tempo. Sabemos que:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
e
:
Isso significa que a transformada inversa nos dá uma função exponencial deslocada no tempo.
Passo 6
Finalmente, lembrando que temos um sinal negativo no começo da expressão original, a resposta fica: