Sabendo que
. Determine quem são as funções
e
em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado dá a função composta
e pede para determinar quais são
e
no caso
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A forma explícita de
é . - Quer-se encontrar duas funções
e tais que .
Passo 2
Primeiro, lembrar claramente o que significa composição de funções. A definição é:
Isso quer dizer que
é a parte interna (o valor que entra em
) e
atua sobre esse resultado. Para “desmontar” uma expressão composta, o procedimento prático é identificar uma subexpressão que aparece repetida ou que constitui um bloco natural que pode ser tomado como saída de
. No nosso caso, a subexpressão óbvia que aparece duas vezes é
. Então é natural tentar tomar
como
.
Passo 3
Definimos a função interna
escolhendo a subexpressão
:
Para ficar claro, introduzimos uma variável intermediária
e escrevemos
Agora reescrevemos
usando
. Substituindo
em
obtemos
Isso sugere definir a função externa
como a função de
que transforma
em
.
Passo 4
Definimos, então, a função externa
por
Agora verificamos a composição para checar se está correta:
Está confirmado: com essas escolhas temos
.
Passo 5
Explico um pouco sobre escolhas e domínio, para você saber usar isso na prova:
- Por que escolhemos
? Porque aparece como um bloco repetido na expressão original; é a escolha mais simples e natural para a função interna. - Sobre domínios:
tem domínio . A imagem (alcance) de é . A função está definida para ; como a imagem de contém apenas , não há problema (não atingimos ). Assim, a composição está bem definida para , que é o domínio natural de .
Passo 6
Observação prática para a prova: decomposições não são únicas — você pode inventar outras
e
que compõem para dar a mesma
(por exemplo, inserir uma função identidade ou aplicar transformações inversas e depois reverter). Mas a estratégia mais simples e segura em prova é escolher como
a subexpressão que se repete ou o bloco mais interno (aqui
), e então definir
substituindo esse bloco por uma variável.