Sabendo que F(x)=f \circ g(x). Determine quem são as funções f e g em cada caso.
F(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}.

Passo 1

O enunciado dá a função composta F(x)=f\circ g(x) e pede para determinar quais são f e g no caso
F(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A forma explícita de F(x) é \dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}.
  • Quer-se encontrar duas funções f e g tais que F(x)=f(g(x)).

Passo 2

Primeiro, lembrar claramente o que significa composição de funções. A definição é:
(f\circ g)(x)=f(g(x)).
Isso quer dizer que g(x) é a parte interna (o valor que entra em f) e f atua sobre esse resultado. Para “desmontar” uma expressão composta, o procedimento prático é identificar uma subexpressão que aparece repetida ou que constitui um bloco natural que pode ser tomado como saída de g. No nosso caso, a subexpressão óbvia que aparece duas vezes é \sqrt{x}. Então é natural tentar tomar \sqrt{x} como g(x).

Passo 3

Definimos a função interna g escolhendo a subexpressão \sqrt{x}:
g(x)=\sqrt{x}.
Para ficar claro, introduzimos uma variável intermediária u e escrevemos
u=g(x)=\sqrt{x}.
Agora reescrevemos F(x) usando u. Substituindo \sqrt{x}=u em F obtemos
F(x)=\frac{u}{1+u}.
Isso sugere definir a função externa f como a função de u que transforma u em \dfrac{u}{1+u}.

Passo 4

Definimos, então, a função externa f por
f(u)=\frac{u}{1+u}.
Agora verificamos a composição para checar se está correta:
f(g(x))=f\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}=F(x).
Está confirmado: com essas escolhas temos F=f\circ g.

Passo 5

Explico um pouco sobre escolhas e domínio, para você saber usar isso na prova:
  • Por que escolhemos g(x)=\sqrt{x}? Porque \sqrt{x} aparece como um bloco repetido na expressão original; é a escolha mais simples e natural para a função interna.
  • Sobre domínios: g(x)=\sqrt{x} tem domínio \{x\mid x\ge 0\}. A imagem (alcance) de g é \{u\mid u\ge 0\}. A função f(u)=\dfrac{u}{1+u} está definida para u\neq -1; como a imagem de g contém apenas u\ge 0, não há problema (não atingimos u=-1). Assim, a composição está bem definida para x\ge 0, que é o domínio natural de F.

Passo 6

Observação prática para a prova: decomposições não são únicas — você pode inventar outras f e g que compõem para dar a mesma F (por exemplo, inserir uma função identidade ou aplicar transformações inversas e depois reverter). Mas a estratégia mais simples e segura em prova é escolher como g a subexpressão que se repete ou o bloco mais interno (aqui \sqrt{x}), e então definir f substituindo esse bloco por uma variável.

Resposta

f(u)=\dfrac{u}{1+u}
g(x)=\sqrt{x}

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