Calcule:
(g.)
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Como o denominador é 1+x^{3} e sua derivada é proporcional a x^{2}, vamos usar substituição.

Passo 2

Fazemos a troca de variável \,u = x^{3}.
Diferenciando, obtemos
du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \frac{\tfrac{1}{3}\,du}{1+u} = \tfrac{1}{3}\int_{0}^{1} \frac{du}{1+u}.

Passo 4

Sabemos que \displaystyle \int \frac{du}{1+u} = \ln(1+u).
Logo,
\tfrac{1}{3}\int_{0}^{1} \frac{du}{1+u} = \tfrac{1}{3}\bigl[\ln(1+u)\bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{3}\bigl(\ln(2)-\ln(1)\bigr).

Passo 5

Como \ln(1)=0, concluímos que o valor da integral é
\tfrac{1}{3}\ln(2).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln(2)

Exercícios relacionados