Calcule:
(a)
(f)
(k)
(b)
(g)
(1)
(c)
(h)
(m)
(d)
(i)
(n)
(e)
(j)
(o)
.
(a)
(f)
(k)
(b)
(g)
(1)
(c)
(h)
(m)
(d)
(i)
(n)
(e)
(j)
(o)
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais, a maioria de funções racionais e uma trigonométrica. O conteúdo envolve:
- frações parciais e divisão de polinômios para integrais racionais;
- substituições simples
quando conveniente; - a integral de
.
Passo 2
Estratégia geral:
. Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faço divisão polinomial para separar em parte polinomial
parte própria.
. Para a parte própria racional, fatoro o denominador e aplico frações parciais.
. Integro cada termo do tipo
como
.
. Para
uso a primitiva conhecida
.
Passo 3
(a)
.
Fatore e escreva
Fatore
Logo,
Passo 4
(b)
integralxx^2-5x+6dx .
Fatorex^2-5x+6=(x-2)(x-3) e faça frações parciais
Fatore
Integrando,
Passo 5
(c)
integralxx^2-4dx .
Useu=x^2-4 ,
du=2x,dx :
Use
Passo 6
(d)
integral2x+1x^2-1dx .
Separe
Separe
A primeira dá
ln|x^2-1| . A segunda, fatorando
x^2-1=(x-1)(x+1) , dá
tfrac12lnl|tfracx-1x+1r| . Assim,
Passo 7
(e)
integral5x^2+1x-1dx .
Divida,5x^2+1 por
x-1 : o quociente é
5x+5 e resto
6 .
Divida
Integre:
Passo 8
(f)
integralx+3(x-1)^2dx .
Façou=x-1 , então
x+3=u+4 e
dx=du :
Faço
Passo 9
(g)
integralx^2+3x+1x^2-2x-3dx .
Divida, obtem1 +tfrac5x+4(x-3)(x+1) . Depois frações parciais
Divida, obtem
Logo
Passo 10
(h)
integralx^2+1(x-2)^3dx .
Useu=x-2 , então
x^2+1=(u+2)^2+1=u^2+4u+5 :
Use
Passo 11
(i)
integralx+3x^2-xdx .
Fatorex^2-x=x(x-1) e faça frações parciais
Fatore
logo
Passo 12
(j)
integralx^2+x+1x^2-xdx .
Divida: dá1+2x+1x(x-1) . Em frações parciais
Divida: dá
Assim
Passo 13
(k)
integral1cos xdx .
Este é integralsec x,dx =lnl|sec x+tan xr|+C
Este é
Passo 14
(l)
integralx+1x(x-2)(x+3)dx .
Frações parciais
Frações parciais
Integração:
Passo 15
(m)
integralx+3x^3-2x^2-x+2dx .
Fatoreix^3-2x^2-x+2=(x-1)(x+1)(x-2) e usei frações parciais
Fatorei
Logo
Passo 16
(n)
integralx^5+3x^3-4xdx .
Divisão polinomial dáx^2+4 mais resto
tfrac16x+3x(x-2)(x+2) .
Em frações parciais
Divisão polinomial dá
Em frações parciais
Portanto
Passo 17
(o)
integralx^3+1x^3-x^2-2xdx .
Divisão dá1 mais
tfracx^2+2x+1x(x-2)(x+1) . Em frações parciais
Divisão dá
Logo
Resposta
(a)
14lnl|x-2x+2r|+C
(b) -2ln|x-2|+3ln|x-3|+C
(c) tfrac12ln|x^2-4|+C
(d) ln|x^2-1|+tfrac12lnl|tfracx-1x+1r|+C
(e) tfrac52x^2+5x+6ln|x-1|+C
(f) ln|x-1|-4x-1+C
(g) x+tfrac194ln|x-3|+tfrac14ln|x+1|+C
(h) ln|x-2|-4x-2-52(x-2)^2+C
(i) -3ln|x|+4ln|x-1|+C
(j) x-ln|x|+3ln|x-1|+C
(k) lnl|sec x+tan xr|+C
(l) -tfrac16ln|x|+tfrac310ln|x-2|-tfrac215ln|x+3|+C
(m) -2ln|x-1|+tfrac13ln|x+1|+tfrac53ln|x-2|+C
(n) x^33+4x-34ln|x|+358ln|x-2|-298ln|x+2|+C
(o) x-12ln|x|+32ln|x-2|+C
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)