Calcule:
(a) integral 1x^2-4 d x
(f) integral x+3(x-1)^2 d x
(k) integral 1cos x d x
(b) integral xx^2-5 x+6 d x
(g) integral x^2+3 x+1x^2-2 x-3 d x
(1) integral x+1x(x-2)(x+3) d x
(c) integral xx^2-4 d x
(h) integral x^2+1(x-2)^3 d x
(m) integral x+3x^3-2 x^2-x+2 d x
(d) integral 2 x+1x^2-1 d x
(i) integral x+3x^2-x d x
(n) integral x^5+3x^3-4 x d x
(e) integral 5 x^2+1x-1 d x
(j) integral x^2+x+1x^2-x d x
(o) integral x^3+1x^3-x^2-2 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais, a maioria de funções racionais e uma trigonométrica. O conteúdo envolve:
  • frações parciais e divisão de polinômios para integrais racionais;
  • substituições simples u=dots quando conveniente;
  • a integral de sec x.

Passo 2

Estratégia geral:
1. Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faço divisão polinomial para separar em parte polinomial + parte própria.
2. Para a parte própria racional, fatoro o denominador e aplico frações parciais.
3. Integro cada termo do tipo integralAx-adx como Aln|x-a|.
4. Para integralsec x,dx uso a primitiva conhecida ln|sec x+tan x|.

Passo 3

(a) integral1x^2-4dx.
Fatore x^2-4=(x-2)(x+2) e escreva
1(x-2)(x+2)=1/4x-2-1/4x+2
Logo,
integral1x^2-4dx =14ln|x-2|-14ln|x+2|+C =14lnl|tfracx-2x+2r|+C

Passo 4

(b) integralxx^2-5x+6dx.
Fatore x^2-5x+6=(x-2)(x-3) e faça frações parciais
x(x-2)(x-3) =-2x-2+3x-3
Integrando,
integralxx^2-5x+6dx =-2ln|x-2|+3ln|x-3|+C

Passo 5

(c) integralxx^2-4dx.
Use u=x^2-4, du=2x,dx:
integralxx^2-4dx =12integralduu =12ln|u|+C =12ln|x^2-4|+C

Passo 6

(d) integral2x+1x^2-1dx.
Separe
2x+1x^2-1 =2xx^2-1+1x^2-1
A primeira dá ln|x^2-1|. A segunda, fatorando x^2-1=(x-1)(x+1), dá
tfrac12lnl|tfracx-1x+1r|. Assim,
integral2x+1x^2-1dx =ln|x^2-1|+12lnl|x-1x+1r|+C

Passo 7

(e) integral5x^2+1x-1dx.
Divida ,5x^2+1 por x-1: o quociente é 5x+5 e resto 6.
5x^2+1x-1=5x+5+6x-1
Integre:
integral(5x+5)dx+6integraldxx-1 =52x^2+5x+6ln|x-1|+C

Passo 8

(f) integralx+3(x-1)^2dx.
Faço u=x-1, então x+3=u+4 e dx=du:
integralu+4u^2du =integrall(1u+4u^-2r)du =ln|u|-4u^-1+C =ln|x-1|-4x-1+C

Passo 9

(g) integralx^2+3x+1x^2-2x-3dx.
Divida, obtem 1 +tfrac5x+4(x-3)(x+1). Depois frações parciais
5x+4(x-3)(x+1) =19/4x-3+1/4x+1
Logo
integralx^2+3x+1x^2-2x-3dx =x+194ln|x-3|+14ln|x+1|+C

Passo 10

(h) integralx^2+1(x-2)^3dx.
Use u=x-2, então x^2+1=(u+2)^2+1=u^2+4u+5:
integralu^2+4u+5u^3du =integrall(u^-1+4u^-2+5u^-3r)du =ln|u|-4u^-1-tfrac52u^-2+C
=ln|x-2|-4x-2-52(x-2)^2+C

Passo 11

(i) integralx+3x^2-xdx.
Fatore x^2-x=x(x-1) e faça frações parciais
x+3x(x-1) =-3x+4x-1,
logo
integralx+3x^2-xdx =-3ln|x|+4ln|x-1|+C

Passo 12

(j) integralx^2+x+1x^2-xdx.
Divida: dá 1+2x+1x(x-1). Em frações parciais
2x+1x(x-1)=-1x+3x-1
Assim
integralx^2+x+1x^2-xdx =x-ln|x|+3ln|x-1|+C

Passo 13

(k) integral1cos xdx.
Este é integralsec x,dx =lnl|sec x+tan xr|+C

Passo 14

(l) integralx+1x(x-2)(x+3)dx.
Frações parciais
x+1x(x-2)(x+3) =-16x+3/10x-2-2/15x+3
Integração:
-16ln|x| +310ln|x-2| -215ln|x+3| + C

Passo 15

(m) integralx+3x^3-2x^2-x+2dx.
Fatorei x^3-2x^2-x+2=(x-1)(x+1)(x-2) e usei frações parciais
x+3(x-1)(x+1)(x-2) =-2x-1+1/3x+1+5/3x-2
Logo
-2ln|x-1| +13ln|x+1| +53ln|x-2| + C

Passo 16

(n) integralx^5+3x^3-4xdx.
Divisão polinomial dá x^2+4 mais resto tfrac16x+3x(x-2)(x+2).
Em frações parciais
16x+3x(x-2)(x+2) =-3/4x+35/8x-2-29/8x+2
Portanto
integralx^5+3x^3-4xdx =x^33+4x -34ln|x| +358ln|x-2| -298ln|x+2| + C

Passo 17

(o) integralx^3+1x^3-x^2-2xdx.
Divisão dá 1 mais tfracx^2+2x+1x(x-2)(x+1). Em frações parciais
x^2+2x+1x(x-2)(x+1) =-1/2x+3/2x-2+0cdot1x+1
Logo
integralx^3+1x^3-x^2-2xdx =x -12ln|x| +32ln|x-2| + C

Resposta

(a) 14lnl|x-2x+2r|+C
(b) -2ln|x-2|+3ln|x-3|+C
(c) tfrac12ln|x^2-4|+C
(d) ln|x^2-1|+tfrac12lnl|tfracx-1x+1r|+C
(e) tfrac52x^2+5x+6ln|x-1|+C
(f) ln|x-1|-4x-1+C
(g) x+tfrac194ln|x-3|+tfrac14ln|x+1|+C
(h) ln|x-2|-4x-2-52(x-2)^2+C
(i) -3ln|x|+4ln|x-1|+C
(j) x-ln|x|+3ln|x-1|+C
(k) lnl|sec x+tan xr|+C
(l) -tfrac16ln|x|+tfrac310ln|x-2|-tfrac215ln|x+3|+C
(m) -2ln|x-1|+tfrac13ln|x+1|+tfrac53ln|x-2|+C
(n) x^33+4x-34ln|x|+358ln|x-2|-298ln|x+2|+C
(o) x-12ln|x|+32ln|x-2|+C

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