Considere a função f(x, y)=x^2-2 x y+2 y^2.
Sendo u=raiz22(1,1), determine partial fpartial u(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2-2xy+2y^2
e o vetor unitário de direção
u=raiz22(1,1)
Pede-se a derivada direcional de f em (1,2) na direção de u. Para isso vamos usar que
partial fpartial u(x,y)=nabla f(x,y)cdot u,
ou seja, calcular o gradiente de f e fazer o produto escalar com u.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de f. As derivadas parciais são
partial fpartial x(x,y) =2x-2y, partial fpartial y(x,y) =-2x+4y
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nabla f(x,y)=(,2x-2y,;-2x+4y,)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,2):
nabla f(1,2) =l(2cdot1-2cdot2,;-2cdot1+4cdot2r) =(-2,;6)

Passo 4

Finalmente fazemos o produto escalar com u=(tfracraiz22,tfracraiz22):
nabla f(1,2)cdot u =(-2)raiz22+6raiz22 =4raiz22 =2raiz2

Resposta

2raiz2

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