Calcule F^prime e F^prime prime sendo:
F(t)=(raizt, cos (t^2), 3 t)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função vetorial
F(t)=l(raizt,;cos(t^2),;3tr)
Para isso vamos usar as regras de derivação de funções escalares:
– derivada de raizt=t^1/2 é tfrac12t^-1/2,
– regra da cadeia para cos(t^2),
– e derivada de 3t é 3.

Passo 2

Derivando cada componente para obter F'(t):
  1. ddtraizt=12raizt.
  2. ddtcos(t^2)=-sin(t^2)cdotddt(t^2)=-2tsin(t^2).
  3. ddt(3t)=3.
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F'(t)=l(tfrac12raizt,;-2tsin(t^2),;3r)

Passo 3

Agora derivamos F'(t) termo a termo para achar F''(t):
  1. ddt!l(tfrac12t^-1/2r)=tfrac12cdot(-tfrac12)t^-3/2=-14,t^3/2.
  2. Para -2tsin(t^2), use produto u=-2t, v=sin(t^2): u'=-2, v'=cos(t^2)cdot2t, então ddtl(-2tsin(t^2)r) =u'v+uv' =-2sin(t^2)-2tcdot2tcos(t^2) =-2sin(t^2)-4t^2cos(t^2)
  3. ddt(3)=0.
Portanto
F''(t)=l(-tfrac14,t^3/2,;-2sin(t^2)-4t^2cos(t^2),;0r)

Resposta

F'(t)=l(tfrac12raizt,;-2tsin(t^2),;3r)
F''(t)=l(-tfrac14,t^3/2,;-2sin(t^2)-4t^2cos(t^2),;0r)

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