Calcule a integral.
integral2^3 1x^2-1 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral2^3 1x^2-1,dx. O tema aqui é integração de função racional usando frações parciais, e vamos decompor o denominador x^2-1.

Passo 2

Como x^2-1=(x-1)(x+1), escrevemos 1x^2-1=Ax-1+Bx+1. Multiplicando em cruz, obtemos 1=A(x+1)+B(x-1). Igualando coeficientes ou escolhendo valores práticos (por exemplo, x=1 e x=-1), achamos A=tfrac12 e B=-tfrac12.

Passo 3

Substituindo na integral, temos integral2^31x^2-1,dx=integral2^312l(1x-1-1x+1r)dx. Integrando cada parte,

Passo 4

integral12l(1x-1-1x+1r)dx=12ln|x-1|-12ln|x+1|+C.

Passo 5

Agora é só aplicar os limites de 2 a 3: substituindo e simplificando, ficamos com 12lnl|3-1r|-12lnl|3+1r|-l[12lnl|2-1r|-12lnl|2+1r], que se reduz a tfrac12ln(tfrac32).

Resposta

tfrac12lnl(tfrac32r)

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