Uma partícula move-se ao longo de uma reta com função de posição s(t)=raizt^2+1, onde t é medido em segundos e s em metros. Determine a velocidade e a aceleração da partícula no instante t=3.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo de uma reta como
s(t)=raizt^2+1,
e pede a velocidade e a aceleração no instante t=3. O conteúdo é derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de produto, pois expressaremos s(t) de forma conveniente para encontrar ambas.

Passo 2

Para achar a velocidade usamos
v(t)=s'(t)
Escrevendo s(t)=(t^2+1)^1/2 e aplicando a regra da cadeia, temos
s'(t)=12(t^2+1)^-1/2cdot 2t =traizt^2+1

Passo 3

Agora substituímos t=3 em v(t):
v(3)=3raiz3^2+1=3raiz10(m/s)

Passo 4

Para a aceleração usamos
a(t)=v'(t)
Como
v(t)=t(t^2+1)^1/2,
podemos derivar por produto ou simplificar antes. Usando produto:
v'(t) =(t^2+1)^-1/2 + tcdotl(-tfrac12r)(t^2+1)^-3/2cdot 2t =t^2+1 - t^2(t^2+1)^3/2 =1(t^2+1)^3/2

Passo 5

Substituindo t=3 em a(t):
a(3)=1(3^2+1)^3/2 =110^3/2 =110raiz10(m/s^2)

Resposta

v(3)=dfrac3raiz10 m/s
a(3)=dfrac110raiz10 m/ s^2

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