Considere a função
e o ponto
em seu domínio.
Determine a taxa mínima de variação de
em
e a direção em que ela ocorre.
Determine a taxa mínima de variação de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, no ponto P(2,2) da função f(x,y)=y/x², a menor derivada direcional (taxa mínima de variação) e a direção em que ela ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f:
A derivada parcial em relação a x é
A derivada parcial em relação a y é
Avalia-se em P(2,2):
Passo 3
O vetor gradiente em P é
Na teoria de derivadas direcionais, a variação máxima de f tem valor igual a |∇f| e a variação mínima é o seu negativo: -|∇f|.
Passo 4
Calculamos a magnitude de ∇f(2,2):
Portanto, a taxa mínima de variação é -
.
Passo 5
A direção em que ocorre essa variação mínima é a do vetor unitário oposto ao gradiente:
Resposta
A taxa mínima de variação em P é -
e ocorre na direção do vetor unitário
.