Considere a função f(x, y)=yx^2 e o ponto P(2,2) em seu domínio.
Determine a taxa mínima de variação de f em P e a direção em que ela ocorre.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, no ponto P(2,2) da função f(x,y)=y/x², a menor derivada direcional (taxa mínima de variação) e a direção em que ela ocorre. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x = -2yx^3
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y = 1x^2
Avalia-se em P(2,2):
partial fpartial x(2,2) = -2cdot22^3 = -tfrac12, partial fpartial y(2,2) = 12^2 = tfrac14

Passo 3

O vetor gradiente em P é
nabla f(2,2) = l(-tfrac12,;tfrac14r)
Na teoria de derivadas direcionais, a variação máxima de f tem valor igual a |∇f| e a variação mínima é o seu negativo: -|∇f|.

Passo 4

Calculamos a magnitude de ∇f(2,2):
|nabla f| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfrac14r)^2 = raiztfrac14 + tfrac116 = raiztfrac516 = tfracraiz54
Portanto, a taxa mínima de variação é - tfracraiz54.

Passo 5

A direção em que ocorre essa variação mínima é a do vetor unitário oposto ao gradiente:
-nabla f|nabla f| = -l(-tfrac12,,tfrac14r)tfracraiz54 = l(2raiz5,,-1raiz5r)

Resposta

A taxa mínima de variação em P é - tfracraiz54 e ocorre na direção do vetor unitário l(tfrac2raiz5,,-tfrac1raiz5r).

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