Calcule f^prime(-1) se f(x)=(x^3+4 x+5)(x^7+4 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! O enunciado pede para calcular a derivada de $ f(x) = (x^{3} + 4x + 5)(x^{7} + 4x + 1) $ no ponto $ x = -1 $. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto da derivada, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
$ u(x) = x^{3} + 4x + 5 $
$ v(x) = x^{7} + 4x + 1 $
Para aplicar a regra do produto, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ u(x) $:
u(x)
Calculando cada termo:
u'(x) = ddx(x^3) + ddx(4x) + ddx(5)
ddx(x^3) = 3x^2
ddx(4x) = 4
Então,
ddx(5) = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) $:
v(x)
Calculando cada termo:
v'(x) = ddx(x^7) + ddx(4x) + ddx(1)
ddx(x^7) = 7x^6
ddx(4x) = 4
Então,
ddx(1) = 0

Passo 5

Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do produto para encontrar $ f’(x) $:
u'(x)
Substituindo as funções:
v'(x)

Passo 6

Agora, vamos calcular $ f’(-1) $. Primeiro, substituímos $ x = -1 $ nas funções:
Calculando $ u(-1) $:
f'(-1)
Calculando $ v(-1) $:
x = -1
Calculando $ u’(-1) $:
u(-1)
Calculando $ v’(-1) $:
u(-1) = (-1)^3 + 4(-1) + 5 = -1 -4 + 5 = 0

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão de $ f’(-1) $:
f'(-1)
f'(-1) = u'(-1) cdot v(-1) + u(-1) cdot v'(-1)
f'(-1) = 7 cdot (-4) + 0 cdot 11
f'(-1) = -28 + 0

Resposta

$ f’(-1) = -28 $

Exercícios relacionados