Calcule
se
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo! O enunciado pede para calcular a derivada de $ f(x) = (x^{3} + 4x + 5)(x^{7} + 4x + 1) $ no ponto $ x = -1 $. Para isso, vamos precisar usar a regra do produto da derivada, que é usada quando temos uma função que é o produto de duas outras funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar:
$ u(x) = x^{3} + 4x + 5 $
$ v(x) = x^{7} + 4x + 1 $
Para aplicar a regra do produto, precisamos encontrar as derivadas dessas duas funções separadamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ u(x) $:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) $:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos aplicar a regra do produto para encontrar $ f’(x) $:
Substituindo as funções:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ f’(-1) $. Primeiro, substituímos $ x = -1 $ nas funções:
Calculando $ u(-1) $:
Calculando $ v(-1) $:
Calculando $ u’(-1) $:
Calculando $ v’(-1) $:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na expressão de $ f’(-1) $:
Resposta
$ f’(-1) = -28 $