Encontre uma parametrização para o cilindro S=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2=1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do cilindro S definido por x²+y²=1 e 0≤z≤1. Isso cai no tema de parametrização de superfícies, onde vamos usar coordenadas polares para a parte circular e um parâmetro independente para a altura.

Passo 2

Para descrever o círculo x²+y²=1 no plano, usamos um parâmetro u que varre um ângulo em torno da origem. Isso vem da representação polar, onde um ponto no círculo unitário é dado por x=cos(u) e y=sin(u), com u variando de 0 a 2π.

Passo 3

Como a coordenada z vai de 0 a 1 sem restrição circular, podemos usar diretamente um parâmetro v∈[0,1] para representar a altura no cilindro. Assim juntamos as duas partes para obter a parametrização completa do cilindro.

Resposta

Uma parametrização conveniente é
r(u,v)=l(cos(u),,sin(u),,vr)
com domínio dos parâmetros dado por 0≤u≤2π e 0≤v≤1.

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