Encontre uma parametrização para o cilindro
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização do cilindro S definido por x²+y²=1 e 0≤z≤1. Isso cai no tema de parametrização de superfícies, onde vamos usar coordenadas polares para a parte circular e um parâmetro independente para a altura.
Passo 2
Para descrever o círculo x²+y²=1 no plano, usamos um parâmetro u que varre um ângulo em torno da origem. Isso vem da representação polar, onde um ponto no círculo unitário é dado por x=cos(u) e y=sin(u), com u variando de 0 a 2π.
Passo 3
Como a coordenada z vai de 0 a 1 sem restrição circular, podemos usar diretamente um parâmetro v∈[0,1] para representar a altura no cilindro. Assim juntamos as duas partes para obter a parametrização completa do cilindro.
Resposta
Uma parametrização conveniente é
com domínio dos parâmetros dado por 0≤u≤2π e 0≤v≤1.