Calcule f^{\prime}(1), se f(x)=\ln (1+x)+\operatorname{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \ln(1+x) + \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
no ponto x=1. Vamos usar:
– derivada de \ln(1+x) é \tfrac{1}{1+x},
– derivada de \arcsin(u) é \tfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}} (regra da cadeia).

Passo 2

Derivando \ln(1+x) em relação a x:
\frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x}.

Passo 3

Derivando \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) em x pela regra da cadeia:
  1. Seja u(x)=\tfrac{x}{2}. Então u'(x)=\tfrac12.
  2. Sabemos que
\frac{d}{du}\arcsin(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
  1. Logo
\frac{d}{dx}\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) =\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)^2}}\cdot \frac12 =\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{x^2}{4}}}.

Passo 4

Somando as duas parcelas, obtemos
f'(x) =\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{x^2}{4}}}.
Agora basta avaliar em x=1:
f'(1) =\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{1^2}{4}}} =\frac12+\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac14}} =\frac12+\frac{1}{2\sqrt{\tfrac34}} =\frac12+\frac{1}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}} =\frac12+\frac{1}{\sqrt3}.

Resposta

f'(1)=\frac12+\frac{1}{\sqrt3}.

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