A função indicada y_{1}(x) é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem ou a fórmula (5), conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução y_{2}(x).
6 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0 ; \quad y_{1}=e^{x / 3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
6\,y'' + y' - y = 0
e indica uma solução conhecida y_{1}(x)=e^{x/3}. O objetivo é obter uma segunda solução linearmente independente usando redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 6:
y'' + \tfrac{1}{6}\,y' - \tfrac{1}{6}\,y = 0.
Aqui podemos identificar P(x)=\tfrac{1}{6}.

Passo 3

A fórmula de redução de ordem diz que, se y_{1}(x) é solução, então
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Calculamos primeiro
\int P(x)\,dx = \int \tfrac{1}{6}\,dx = \tfrac{x}{6},
logo
e^{-\int P(x)\,dx} = e^{-x/6}.

Passo 4

Substituímos no integrando:
\frac{e^{-x/6}}{y_{1}(x)^{2}} = \frac{e^{-x/6}}{e^{2x/3}} = e^{-x/6 - 2x/3} = e^{-5x/6}.
Portanto a integral a resolver é
\int e^{-5x/6}\,dx.

Passo 5

Calculando a integral:
\int e^{-5x/6}\,dx = -\frac{6}{5}\,e^{-5x/6}.

Passo 6

Agora montamos y_{2}:
y_{2}(x) = y_{1}(x)\,\Bigl(-\tfrac{6}{5}e^{-5x/6}\Bigr) = -\tfrac{6}{5}\,e^{x/3 - 5x/6} = -\tfrac{6}{5}\,e^{-x/2}.
Como podemos multiplicar por qualquer constante, escolhemos a forma simples
y_{2}(x)=e^{-x/2}.

Resposta

A segunda solução independente é
y_{2}(x)=e^{-x/2}.

Exercícios relacionados