Utilize a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções compostas:
y=\ln \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado é calcular a derivada da função composta
y = \ln\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}\Bigr).
O conteúdo envolvido é a derivada de logaritmo natural (regra da cadeia) e a derivada de potências de x.

Passo 2

Definimos
u(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}},
de modo que y = \ln\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
y' = \frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Calculamos u'(x). Escrevendo os termos como potências:
\frac{1}{x} = x^{-1}, \quad \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Então
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1} + x^{-2}\bigr) = -1\cdot x^{-2} \;+\; (-2)\cdot x^{-3} = -x^{-2} - 2\,x^{-3}.

Passo 4

Substituindo em y' = \dfrac{u'}{u}, obtemos
y' = \frac{-x^{-2} - 2\,x^{-3}}{\;x^{-1} + x^{-2}\;} .

Passo 5

Para simplificar, fatoramos potências de x:
\text{numerador} = -x^{-3}(x + 2), \quad \text{denominador} = x^{-2}(x + 1).
Logo
y' = \frac{-x^{-3}(x+2)}{x^{-2}(x+1)} = -x^{-1}\,\frac{x+2}{x+1} = -\frac{x+2}{x(x+1)}.

Resposta

y' = -\frac{x+2}{x\,\bigl(x+1\bigr)}.

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