Uma torneira lança água em um recipiente, sendo o volume da água no instante t igual a V(t)=\ln (1+t) , V(t) \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} e t em horas.
a) Calcule a vazão em um instante t
b) Sabendo que em certo instante a vazão é de \frac{1}{4} m^{3} / h, determine este instante.

Passo 1

O enunciado nos dá o volume de água no instante t como
V(t)=\ln(1+t),
em que V está em metros cúbicos e t em horas. Pede-se:
a) a vazão instantânea Q(t), que é a derivada de V(t);
b) o valor de t tal que Q(t)=\tfrac{1}{4}\,\mathrm{m^3/h}.

Passo 2

A vazão é definida por
Q(t)=V'(t).
Para derivar \ln(1+t) usamos a regra da cadeia: se u=1+t, então \bigl(\ln u\bigr)'=u'/u com u'=1. Logo,
V'(t)=\frac{1}{1+t}.
Portanto
Q(t)=\frac{1}{1+t}.

Passo 3

Para encontrar t tal que Q(t)=\tfrac{1}{4}, resolvemos
\frac{1}{1+t}=\frac{1}{4},
o que implica 1+t=4 e, assim,
t=3\\ \text{horas}.

Resposta

a) Q(t)=\dfrac{1}{1+t},m^3/h
b) t=3 h

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