Calcule f^{\prime}(2) sabendo que f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{3}+\frac{1}{2 x-3}
a) 6
b) 4
c) 2
d) 0
\bigcirc a)
\bigcirc b)
\bigcirc c)
\bigcirc d)

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(2) para a função
f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{3}+\frac{1}{2 x-3}.
As alternativas fornecidas são:
a) 6
b) 4
c) 2
d) 0

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da potência para tornar a derivação mais clara. Observe que
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.
Portanto podemos reescrever f(x) como
f(x)=(x-1)^{6}+(2x-3)^{-1}.

Passo 3

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Regra do poder (power rule): se g(x)=x^{n} com n constante, então
g'(x)=n x^{n-1}.
Aqui a variável é x e n é o expoente (um número).
  • Regra da cadeia (chain rule): se h(x)=(u(x))^{n}, onde u(x) é uma função de x, então
h'(x)=n\,(u(x))^{\,n-1}\cdot u'(x).
Isto significa: derive a potência como se fosse a variável, multiplicando pelo derivado da função interna u(x).
  • Derivada de uma função do tipo u(x)^{-1}: aplicando a regra da cadeia com n=-1
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{-1}\bigr)=-1\cdot u(x)^{-2}\cdot u'(x)=-\frac{u'(x)}{(u(x))^{2}}.

Passo 4

Aplique a regra da cadeia ao primeiro termo (x-1)^{6}. Aqui u(x)=x-1 e n=6. O derivado de u(x) é u'(x)=1. Assim
\frac{d}{dx}\bigl((x-1)^{6}\bigr)=6(x-1)^{5}\cdot 1=6(x-1)^{5}.

Passo 5

Agora derive o segundo termo (2x-3)^{-1}. Aqui u(x)=2x-3 e n=-1. O derivado de u(x) é u'(x)=2. Usando a fórmula da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl((2x-3)^{-1}\bigr)=-1\cdot(2x-3)^{-2}\cdot 2=-2(2x-3)^{-2}.
Reescrevendo em forma de fração,
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x-3}\right)=-\frac{2}{(2x-3)^{2}}.

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos a derivada completa:
f'(x)=6(x-1)^{5}-\frac{2}{(2x-3)^{2}}.

Passo 7

Agora avaliamos em x=2. Calcule cada parte:
(x-1)^{5}\Big|_{x=2}=(2-1)^{5}=1^{5}=1,
(2x-3)^{2}\Big|_{x=2}=(4-3)^{2}=1^{2}=1.
Substituindo em f'(x):
f'(2)=6\cdot 1-\frac{2}{1}=6-2=4.

Passo 8

Portanto o valor pedido é 4. A alternativa correta é a letra b).

Resposta

b) 4

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