Questão 8: *
Qual das seguintes fórmulas é correta?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das quatro fórmulas apresentadas é a correta para a derivada de
Informações dadas:
- A função a derivar é
. - As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Vamos escrever a função de maneira conveniente e usar a regra apropriada passo a passo. Defino
Aplicamos a regra da cadeia: se
com
, então
Explicando a parte do
: para
a derivada é
Portanto, em termos de
,
Passo 3
Agora precisamos calcular
, onde
Para derivar um quociente usamos a regra do quociente: se
, então
Aqui tomo
e
.
Passo 4
Calculo as derivadas de
e
:
Agora aplico a fórmula do quociente:
Passo 5
Simplifico o numerador passo a passo:
Agrupando fatores:
Portanto
Passo 6
Substituo
em
:
Multiplicando o escalar
por
:
logo
Passo 7
Comparando com as alternativas:
- A alternativa (d) coincide exatamente com o resultado encontrado.
- Alternativa (a) está errada porque ignora
(faltou multiplicar pela derivada do interno). - Alternativa (b) tem uma forma sem sentido aqui (aparece
e coeficientes incorretos). - Alternativa (c) tem a mesma estrutura de potências, mas com sinal negativo; nosso cálculo mostrou sinal positivo, portanto (c) está incorreta.
Resposta
d)