Questão 8: *

Qual das seguintes fórmulas é correta?

a) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=2025\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}
b) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=\left(\frac{1+4050 x^{4049}}{1-4050 x^{4049}}\right)
c) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=-2025 \frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}
d) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=8100 \frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}
\bigcirc a)
\bigcirc b)
\bigcirc c)
\bigcirc d)

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das quatro fórmulas apresentadas é a correta para a derivada de
\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}.
Informações dadas:
  • A função a derivar é f(x)=\left(\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}.
  • As alternativas são:
    a) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=2025\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}
    b) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=\left(\frac{1+4050 x^{4049}}{1-4050 x^{4049}}\right)
    c) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=-2025 \frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}
    d) \frac{d}{d x}\left[\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2025}\right]=8100 \frac{x}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}

Passo 2

Vamos escrever a função de maneira conveniente e usar a regra apropriada passo a passo. Defino
g(x)=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}, \qquad f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2025}.
Aplicamos a regra da cadeia: se f(x)=h(g(x)) com h(u)=u^{2025}, então
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).
Explicando a parte do h: para h(u)=u^{2025} a derivada é
h'(u)=2025\,u^{2024}.
Portanto, em termos de g,
f'(x)=2025\bigl(g(x)\bigr)^{2024}\cdot g'(x).

Passo 3

Agora precisamos calcular g'(x), onde
g(x)=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.
Para derivar um quociente usamos a regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui tomo u(x)=1+x^{2} e v(x)=1-x^{2}.

Passo 4

Calculo as derivadas de u e v:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=-2x.
Agora aplico a fórmula do quociente:
g'(x)=\frac{2x(1-x^{2})-(1+x^{2})(-2x)}{(1-x^{2})^{2}}.

Passo 5

Simplifico o numerador passo a passo:
2x(1-x^{2})-(1+x^{2})(-2x)=2x(1-x^{2})+2x(1+x^{2}).
Agrupando fatores:
2x(1-x^{2})+2x(1+x^{2})=2x\bigl((1-x^{2})+(1+x^{2})\bigr)=2x(2)=4x.
Portanto
g'(x)=\frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}.

Passo 6

Substituo g'(x) em f'(x)=2025\bigl(g(x)\bigr)^{2024}\cdot g'(x):
f'(x)=2025\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}\cdot\frac{4x}{(1-x^{2})^{2}}.
Multiplicando o escalar 2025 por 4:
2025\cdot 4=8100,
logo
f'(x)=8100\,\frac{x}{(1-x^{2})^{2}}\left(\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2024}.

Passo 7

Comparando com as alternativas:
  • A alternativa (d) coincide exatamente com o resultado encontrado.
  • Alternativa (a) está errada porque ignora g'(x) (faltou multiplicar pela derivada do interno).
  • Alternativa (b) tem uma forma sem sentido aqui (aparece x^{4049} e coeficientes incorretos).
  • Alternativa (c) tem a mesma estrutura de potências, mas com sinal negativo; nosso cálculo mostrou sinal positivo, portanto (c) está incorreta.

Resposta

d)

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