Calcule f^{\prime}(2) sendo f a função dada por:
f(x)=\frac{x^{3}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}}{e^{x}}
e pede f'(2). O conteúdo aqui é derivada de função quociente (ou produto com exponencial).

Passo 2

Para simplificar a derivação, reescrevemos
f(x)=x^{3}\,e^{-x}\,.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x) então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x)=x^{3} e v(x)=e^{-x}, logo
u'(x)=3x^{2} \quad\text{e}\quad v'(x)=-e^{-x}\,.

Passo 4

Substituindo na fórmula da derivada:
f'(x)=3x^{2}e^{-x}-x^{3}e^{-x}=(3x^{2}-x^{3})e^{-x}
que também pode ser escrito como
f'(x)=\frac{3x^{2}-x^{3}}{e^{x}}.

Passo 5

Para obter f'(2), fazemos x=2:
f'(2)=\bigl(3\cdot2^{2}-2^{3}\bigr)e^{-2}=(12-8)e^{-2}=4e^{-2}=\frac{4}{e^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{e^{2}}

Exercícios relacionados