Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\frac{3-\frac{1}{x}}{x+5}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{x + 5},
definida para x \neq 0 e x \neq -5.
Queremos calcular f'(x). Para isso vamos usar a regra do quociente e a regra da potência para derivar o numerador.

Passo 2

Seja
N(x) = 3 - \frac{1}{x} \quad\text{e}\quad D(x) = x + 5.
Derivando cada um:
a)
N'(x) = 0 - \bigl(-1\bigr)\,x^{-2} = \frac{1}{x^2}.
b)
D'(x) = 1.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{N'(x)\,D(x) - N(x)\,D'(x)}{\bigl[D(x)\bigr]^2} = \frac{\frac{1}{x^2}(x+5)\;-\;\bigl(3-\tfrac{1}{x}\bigr)\cdot1}{(x+5)^2}.

Passo 4

Simplificamos o numerador:
\frac{1}{x^2}(x+5) - \Bigl(3 - \frac{1}{x}\Bigr) = \frac{x+5}{x^2} - 3 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2} + \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x} - 3 = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^2} + \frac{1}{x} - 3.
Agrupando termos semelhantes:
= \frac{2}{x} + \frac{5}{x^2} - 3 = \frac{2x + 5 - 3x^2}{x^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 5}{x^2}.

Passo 5

Substituindo de volta em f'(x):
f'(x) = \frac{\displaystyle \frac{-3x^2 + 2x + 5}{x^2}}{(x+5)^2} = \frac{-3x^2 + 2x + 5}{x^2\,(x+5)^2}.

Resposta

f'(x) = \frac{-3x^2 + 2x + 5}{x^2\,(x+5)^2}, \quad x\neq 0,\,-5.

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