Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}}
para x>0. Vamos usar a regra de potência, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em potências de x:
f(x)=(x+1)x^{-\tfrac12}=x\cdot x^{-\tfrac12}+1\cdot x^{-\tfrac12} =x^{\tfrac12}+x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Aplicando a regra de potência a cada termo, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-\tfrac12}\bigr)=-\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.
Logo,
f'(x)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}-\tfrac12\,x^{-\tfrac32}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos \tfrac12\,x^{-\tfrac32}:
f'(x) =\tfrac12\,x^{-\tfrac32}\bigl(x-1\bigr) =\frac{x-1}{2\,x^{\tfrac32}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x-1}{2\,x^{\tfrac32}},\quad x>0.

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