Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\left(\frac{1}{x}+1\right)(x-1)

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x)=\Bigl(\frac{1}{x}+1\Bigr)(x-1)
e pede f'(x). Vamos usar a regra do produto e depois, para simplificar cálculos, a regra da potência ao derivar termos em x^{-1}.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f(x) expandindo o produto:
f(x)=\frac{1}{x}\,(x-1)+1\cdot(x-1)
f(x)=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}+x-1
f(x)=1-\frac{1}{x}+x-1
como 1-1=0, sobra
f(x)=x-\frac{1}{x}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando a regra da potência para -1/x=-x^{-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1, \quad \frac{d}{dx}\bigl(-x^{-1}\bigr)=-(-1)x^{-2}=x^{-2}.
Somando os dois resultados, obtemos
f'(x)=1+\frac{1}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=1+\frac{1}{x^{2}},\quad x\neq 0.

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