Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\left(\frac{x-3}{x+4}\right)\left(x^{2}+2 x+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \Bigl(\frac{x-3}{x+4}\Bigr)\,(x^{2}+2x+1).
O conteúdo é diferenciação de produto de função racional e polinomial; vamos usar a regra do produto e, para a parte racional, a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{x-3}{x+4}, \quad v(x)=x^{2}+2x+1.
Calculamos u'(x) pela regra do quociente:
u'(x) =\frac{(1)(x+4)-(x-3)(1)}{(x+4)^{2}} =\frac{x+4-x+3}{(x+4)^{2}} =\frac{7}{(x+4)^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos v'(x) diretamente:
v'(x)=2x+2.
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Substituindo as derivadas:
f'(x) =\frac{7}{(x+4)^{2}}\,(x^{2}+2x+1) +\frac{x-3}{x+4}\,(2x+2).
Para simplificar, note que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2} e 2x+2=2(x+1).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador (x+4)^{2}:
f'(x) =\frac{7(x+1)^{2}+2(x+1)(x-3)(x+4)}{(x+4)^{2}}.

Passo 5

Expandimos e somamos os termos do numerador:
7(x+1)^{2}=7x^{2}+14x+7,
2(x+1)(x-3)(x+4) =2\bigl(x^{3}+2x^{2}-11x-12\bigr) =2x^{3}+4x^{2}-22x-24.
Logo o numerador fica
2x^{3}+4x^{2}-22x-24+7x^{2}+14x+7 =2x^{3}+11x^{2}-8x-17.

Resposta

f'(x)=\frac{2x^{3}+11x^{2}-8x-17}{(x+4)^{2}}.

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