Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\left(3 x^{3}+4 x\right)(x-5)(x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(3x^3 + 4x\bigr)\,(x-5)\,(x+1).
O conteúdo aqui é derivação de polinômio e uso da regra do produto (ou expansão seguida da regra do poder).

Passo 2

Primeiro simplificamos o produto (x-5)(x+1):
(x-5)(x+1) = x^2 -4x -5.

Passo 3

Agora multiplicamos \bigl(3x^3+4x\bigr) por x^2 -4x -5 e somamos termos semelhantes:
\begin{aligned} f(x) &= (3x^3+4x)(x^2 -4x -5)\\\ &= 3x^3\cdot x^2 + 3x^3\cdot(-4x) + 3x^3\cdot(-5) + 4x\cdot x^2 + 4x\cdot(-4x) + 4x\cdot(-5)\\\ &= 3x^5 -12x^4 -15x^3 +4x^3 -16x^2 -20x\\\ &= 3x^5 -12x^4 -11x^3 -16x^2 -20x. \end{aligned}

Passo 4

Aplicamos a regra do poder em cada monômio:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^5\bigr)=15x^4,\quad \frac{d}{dx}\bigl(-12x^4\bigr)=-48x^3,\quad \frac{d}{dx}\bigl(-11x^3\bigr)=-33x^2,
\frac{d}{dx}\bigl(-16x^2\bigr)=-32x,\quad \frac{d}{dx}\bigl(-20x\bigr)=-20.
Somando tudo, obtemos a derivada.

Resposta

f'(x) = 15x^4 -48x^3 -33x^2 -32x -20.

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