Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=e^{-x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{-x}\ln x
em seu domínio natural x>0. Aqui vamos usar a regra do produto para derivar f(x)=u(x)v(x) e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar u(x)=e^{-x}.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{-x}, \quad v(x)=\ln x,
de modo que f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Para achar u'(x), aplicamos a regra da cadeia em \exp(g(x)) com g(x)=-x. Assim,
u'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 4

A derivada de v(x)=\ln x é direta pela regra básica:
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =-e^{-x}\ln x + e^{-x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 6

Para simplificar, fatoramos e^{-x}:
f'(x)=e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln x\Bigr).

Resposta

f'(x)=e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln x\Bigr),\quad x>0.

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