Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=x^{2} \sqrt{1-x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}\sqrt{1-x^{2}},
cujo domínio natural é -1<x<1. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Seja
u(x)=x^{2}, \quad v(x)=(1-x^{2})^{\tfrac12}.
Calculamos
u'(x)=2x.

Passo 3

Para v(x) usamos a regra da cadeia:
v'(x)=\tfrac12(1-x^{2})^{-\tfrac12}\cdot(-2x) =-x\,(1-x^{2})^{-\tfrac12}.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =2x\sqrt{1-x^{2}}-x^{2}\cdot\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} =2x\sqrt{1-x^{2}}-\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 5

Colocando em denominador comum \sqrt{1-x^{2}}, obtemos
f'(x) =\frac{2x(1-x^{2})-x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{2x-2x^{3}-x^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{x(2-3x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x(2-3x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}},\quad -1<x<1.

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