Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\sqrt{x} \cos \left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x}\,\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
Aqui vamos usar a regra do produto e, para a parte \cos(x^{2}+1), a regra da cadeia.

Passo 2

Calculemos a derivada de u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. Pela regra de potência:
u'(x)=\frac12\,x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Calculemos a derivada de v(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr). Aplicando a regra da cadeia: se v(x)=\cos\bigl(w(x)\bigr) com w(x)=x^{2}+1, então
v'(x)=-\sin\bigl(w(x)\bigr)\cdot w'(x) =-\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot(2x) =-2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto em f(x)=u(x)\,v(x):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 5

Substituindo u(x), u'(x), v(x) e v'(x):
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\bigl(x^{2}+1\bigr) +\sqrt{x}\,\bigl(-2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\bigr).
Reescrevendo \sqrt{x}\cdot2x =2x^{3/2}, obtemos
f'(x) =\frac{\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)}{2\sqrt{x}} -2\,x^{3/2}\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)}{2\sqrt{x}} -2\,x^{3/2}\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).

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