Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\ln \left(\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{1+e^{x}}{1-e^{x}}\biggr).
Para isso vamos usar a propriedade de logaritmo de quociente
\ln\!\biggl(\frac{A}{B}\biggr)=\ln(A)-\ln(B)
e a regra da cadeia para derivar \ln.

Passo 2

Escrevendo
f(x)=\ln(1+e^{x})-\ln(1-e^{x})
temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1+e^{x}) \;-\;\frac{d}{dx}\ln(1-e^{x}) =\frac{e^{x}}{1+e^{x}} \;-\;\Bigl(-\frac{e^{x}}{1-e^{x}}\Bigr) =\frac{e^{x}}{1+e^{x}}+\frac{e^{x}}{1-e^{x}}.

Passo 3

Somando as frações com denominador comum (1+e^{x})(1-e^{x})=1-e^{2x},
f'(x) =\;e^{x}\,\frac{1-e^{x}+1+e^{x}}{1-e^{2x}} =\frac{2\,e^{x}}{1-e^{2x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\,e^{x}}{1-e^{2x}}.

Exercícios relacionados