Calcule f^{\prime}(x) em cada caso:
f(x)=\left(\frac{3 x-1}{x^{2}+5}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{3x-1}{x^{2}+5}\Bigr)^{2}.
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em conjunto com a regra do quociente.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=\frac{3x-1}{x^{2}+5}
para que f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{2}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).

Passo 3

Agora calculamos g'(x) usando a regra do quociente. Se
g(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, \quad u(x)=3x-1, \quad v(x)=x^{2}+5,
então
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{3\,(x^{2}+5)-(3x-1)\,2x}{(x^{2}+5)^{2}}.

Passo 4

Simplificamos o numerador de g'(x):
3\,(x^{2}+5)-(3x-1)\,2x =3x^{2}+15 -6x^{2}+2x =-3x^{2}+2x+15.
Logo,
g'(x) =\frac{-3x^{2}+2x+15}{(x^{2}+5)^{2}}.

Passo 5

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x)=2\,g(x)\,g'(x), obtemos
f'(x) =2\;\frac{3x-1}{x^{2}+5}\;\cdot\;\frac{-3x^{2}+2x+15}{(x^{2}+5)^{2}} =\frac{2\,(3x-1)\,(-3x^{2}+2x+15)}{(x^{2}+5)^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2\,(3x-1)\,\bigl(-3x^{2}+2x+15\bigr)}{(x^{2}+5)^{3}}.

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