Calcule f^{\prime}(x) :
Calcule f^{\prime}(x) usando a regra da cadeia:
f(x)=\sin \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia, que diz que, para composições f(x)=h(u(x)),
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui temos duas camadas internas: primeiro u(x)=\sqrt{1+x^{2}} e depois h(u)=\sin(u).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia na primeira camada, ou seja, derivando \sin(u) em que u=\sqrt{1+x^{2}}, temos
f'(x)=\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\,\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x)=\sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2}. Usamos a regra da potência e a derivada de 1+x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr) =\frac12(1+x^{2})^{-1/2}\cdot2x =\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Substituindo em f'(x) resulta
f'(x) =\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\,\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\frac{x\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x\cos\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)}{\sqrt{1+x^{2}}}.

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